A solution of some problems of K. Borsuk and L. Jánossy

Abstract

The aim of the present paper is the determination of those continuous, strictly monotonic and associative operations for which addition (problem ofA. Gruzewski—K. Borsuk), multiplication or the quasimultiplicationψ ¹ [ψ(x)ψ(y)] are distributive, further the determination of those operations which are distributive for addition or the quasi-additionψ ⁻¹[ψ(x) +ψ(y)]. The respective operations are$^a log\left( {a^x + a^v } \right),\sqrt[k]{{x^k + y^k }},\psi ^{ - 1} \left[ {\sqrt[k]{{\psi \left( x \right)^k + \psi \left( y \right)^k ,}}} \right]cxy,\psi ^1 \left[ {\psi \left( x \right)\psi \left( y \right)} \right]$. From this we derive that the probability of the occurrence of one of two exclusive events resp. of both of two independent events has the formψ ⁻¹ [ψ(p) +ψ(q)] resp.ψ ⁻¹[ψ(p ψ(q] as was suggested byJánossy in the preceding paper if we suppose only that the probability of (Aor B) increases continuously with the probabilities of A and B, and the probability of the happening of one of three events does not depend on their arragement, further the non-negative probability of the simultaneous occur ence of two events does not depend on their order and finally the probability of (Aor B)and C equals that of (Aand C)or (Band C). On the other hand by modifying a theorem ofS. Golab we see that the same formulas are valid (the second even for not-independent events) if besides this last condition these probability functions are derivable (the second with respect to its second variable in a continuous manner) the first being also strictly monotonic and if the probability of Aor the impossible event resp. of Aand the certain event (without regard to their order) is equal to the probability of A, and finally the simultaneous occurrence of any event with the impossible event is also impossible.

Further similar statements are also proved.

Резюме

В работе было исследовано какие непрерывные, строго монотонные, ассоциативные действия существуут, относительно которых сложение (проблема А. Грузевского-К. Боршука), умножение или квазиумножениеψ ¹ [ψ(x)ψ(y)] являются дистрибутивными или которые дистрибутивны относительно сложения или квазисложенияψ ⁻¹[ψ(x) +ψ(y)]

Эти действия соответственно:

$$^a log\left( {a^x + a^v } \right),\sqrt[k]{{x^k + y^k }},\psi ^{ - 1} \left[ {\sqrt[k]{{\psi \left( x \right)^k + \psi \left( y \right)^k }}} \right],cxy,\psi ^1 \left[ {c\psi \left( x \right)\psi y} \right]$$

.

Отсюда следует, что можно получить правило сложения или умножения вероятностей в форме по Яношиψ ⁻¹ [ψ(p) +ψ(q)];ψ ⁻¹[ψ(p ψ(q] предполагая из его условий лишь некоторые, а именно: сумма вероятностей непрерывно возрастает со слагающими вероятностями, сумма вероятностей трех событий не зависит от их группировки, произведение вероятностей двух событий положительно и не зависит от их последовательности, и, наконец, вероятность (А либо В) и С равняется вероятности (А и С) либо (В и С). С другой стороны с помощью преобразования одной теоремы С. Голаба получим, что эти же формулы справедливы и в том случае, если кроме последнего условия предположим еще следующее:

Функции, полученные умножением или сложением вероятностей, являются дифференцируемыми (в случае умножения — непрерывно по второй переменной); сумма вероятностей — возрастающая; далее, что сумма вероятностей некоторого события А и некоторого невозможного события имеет такое же значемие, как и произведение события А на некоторое достоверное событие (в любой последоввтельности), причем они разны вероятности события А; и наконец, совместное осуществление любого события с невозможным событием тоже невозможно. При этой последней теореме в случае произведения вероятностей не обязателяно ограничиваться независимыми событиями. Доказываются дальнейщие подобные теоремы.