Second-order phase transitions in three dimensions

Summary

The basic problem in the understanding of second-order phase transitions in three dimensions—based on the Landau Hamiltonian ℋ=1/2 (∇φ)²+1/2m ² φ ² + (λ ₄/4!)φ ⁴+…—is the appearance of strong infrared singularities which atT=T _c,i.e. m=0, explicitly do not allow an expansion in the coupling constantλ ₄. Therefore, in order to tame these strong infra-red divergences, one needs ana priori nonperturbative mechanism inλ ₄. We have presented such a nonperturbative solution, called screening, because of its analogy with what happens in the nonrelativistic electron gas. After screening, the theory gets the structure of a renormalizable field theory and one can then, using standard methods, obtain the full infra-red behaviour of the correlation functions, which give then immediately the critical exponents. In this paper, many aspects of this approach are reconsidered with extensive argumentation.

Riassunto

Il problema fondamentale nella comprensione delle transizioni di fase di secondo ordine a tre dimensioni — basato sulla hamiltoniana di Landau ℋ=1/2 (∇ϕ)²+1/2m ² ϕ ²++(λ ₄/4!)ϕ ⁴+… — è la comparsa di forti singolarità nell’infrarosso che aT=T _c,i.e. m=0, esplicitamente non permettono un’espansione nella costante di accoppiamentoλ ₄. Quindi per vincere queste singolarità forti nell’infrarosso, è necessario un meccanismo non perturbativoa priori inλ ₄. Si è presentata una tale soluzione non perturbativa chiamata «schermatura» a causa della sua analogia con quella che accade nel gas non relativistico di elettroni. Per la schermatura, la teoria acquista la struttura di una teoria di campo renormalizzabile e si può quindi ottenere, per mezzo di metodi standard, il comportamento globale nell’infrarosso delle funzioni di correlazione, che immediatamente danno gli esponenti critici. In questo articolo, molti aspetti di questo approccio sono ripresi in considerazione con argomentazioni estese.

Реэюме

Основная проблема в понимании фаэовых переходов второго порядка в трех иэмерениях — на осноев Гамильтониана Ландау ℋ=1/2(∇ϕ)²+1/2m ² ϕ ²++(λ ₄/4!)ϕ ⁴+… — эаключается в появлении сильных инфракрасных сингулярностей, которые приT=T _c, т.е. приm=0, не допускают раэложения по константе свяэиλ ₄. Следовательно, чтобы смягчить зти сильные инфнракрасные расходимости, необходим, априори, непертурбационный механиэм поλ ₄. Мы предлагаем такое непертурбационное рещение, наэываемое зкранированием иэ-эа его аналогии с тем, что происходит в нерелятивистском злектронном гаэе. После зкранирования, теория приобретает вид перенормируемой теории поля и, испольэуя стандартные методы, можно получить полное инфракрасное поведение корреляционных функций, которые сраэу дают критические зкспоненты. В зтой статье эаново рассматриваются многие аспекты зтого подхода с подробной аргументацией.