On a geometric interpretation of Heisenberg’s commutation rule and the algebraic structure of the Pauli equation

Summary

It is shown that Heisenberg's commutation rule between the position co-ordinate and the corresponding canonically conjugate momentum may be interpreted by noncommuting geometrical structures. As in the absence of a magnetic field the Euclidean norm of the momentum space directly enters the kinetic energy, the momentum space can be mapped onto the quaternion fieldU ₂. Such a mapping preserves the norm of the momentum space. By that, the geometric and algebraic structure of the Pauli equation can be obtained and the relationship between the Pauli and the Dirac equation can be made apparent by noncommuting algebraic structures. In an appendix it will also be shown that the extension of the procedure to vector spaces equipped with Riemannian geometry makes no difficulties and a covariant quantization procedure can be formulated.

Riassunto

Si mostra che la regola di commutazione di Heisenberg tra la coordinate di posizione e il corrispondente impulso coniugato in maniera canonica può essere interpretata mediante strutture geometriche che non commutano. Poiché in assenza di campo magnetico la norma euclidiana dello spazio dell'impulso entra direttamente nell'energia cinetica, lo spazio dell'impulso può essere rappresentato nel campo quaternionicoU ₂. Una tale rappresentazione conserva la norma dello spazio d'impulso. In questo modo si possono ottenere le strutture geometrica e algebrica dell'equazione di Pauli e si può mettere in evidenza la relazione tra l'equazione di Pauli e quella di Dirac, mediante strutture non commutative. Nell'appendice si mostra anche che l'estensione della procedura agli spazi vettoriali provvisti di geometria Riemanniana non presenta difficoltà e si può formulare una procedura covariante di quantizzazione.

Резюме

Показывается, что правило коммутации Гайэенберга между координатой и соответствующим канонически сопряженным импульсом может быть интерпретировано с помощью некоммутирующих геометрических структур. Так как в отсутствии магнитного поля эвклидова норма импульсного пространства непосредственно входит в кинетическую энергию, то импульсное пространство может быть отображено на кватернионное полеU ₂. такое отображение сохраняет норму импульсного пространства. Таким образом может быть получена геометрическая и алгебраическая структура уравнения Паули. Связь между уравнениями Паули и Дирака может быть сделана явной с помощью некоммутирующих алгебраических структур. В приложении также показывается, что обобщение предложенной процедуры на векторные пространства не приводит к дополнительным трудностям и что может быть сформулирована ковариантная процедура квантования.