Operations involving momentum variables in non-Hamiltonian evolution equations

Summary

Non-Hamiltonian evolution equations have been recently considered for the description of various physical processes. Among these types of equations the class which has been more extensively studied is the one usually referred to as quantum-dynamical semi-group equations (QDS). In particular an equation of the QDS type has been considered as the basis for a model, called quantum mechanics with spontaneous localization (QMSL), which has been shown to exhibit some very interesting features allowing us to overcome most of the conceptual difficulties of standard quantum theory. QMSL assumes a modification of the pure Schrödinger evolution by assuming the occurrence, at random times, of stochastic processes for the wave function corresponding formally to approximate position measurements. In this paper we investigate the consequences of modifying and/or enlarging the class of the considered stochastic processes, by considering the spontaneous occurrence of approximate momentum and of simultaneous position and momentum measurements. It is shown that the considered changes in the elementary processes have unacceptable consequences. In particular they either lead to drastic modifications in the dynamics of microsystems or are completely useless from the point of view of the conceptual advantages that one was trying to get from QMSL. The present work supports therefore the idea that QMSL, as originally formulated, can be taken as the basic scheme for the generalizations which are still necessary in order to make it appropriate for the description of systems of identical particles and to meet relativistic requirements.

Riassunto

Recentemente sono state considerate equazioni di evoluzione di tipo non-Hamiltoniano per la descrizione di vari processi fisici. Una sottoclasse di queste è stata studiata piú in dettaglio: le cosiddette equazioni dei semigruppi dinamici quantistici. In particolare un’equazione di questo tipo è stata assunta per la formulazione di un modello, la meccanica quantistica con localizzazioni spontanee (QMSL), che si è rivelato estremamente interessante in quanto permette di superare le piú rilevanti difficoltà concettuali della teoria quantistica nella sua formulazione standard. La QMSL assume una modificazione dell’evoluzione alla Schrödinger ipotizzando che la funzione d’onda subisca a tempi a caso dei processi stocastici che corrispondono formalmente a localizzazioni spaziali approssimate. In questo lavoro si studiano le conseguenze di un ampliamento dei processi stocastici usati nella QMSL, considerando anche processi spontanei che coinvolgono le variabili impulso o simultaneamente le posizioni e gli impulsi. Si mostra che le modifiche considerate comportano conseguenze inaccettabili. In particolare esse o portano a drastiche modifiche nella dinamica dei sistemi microscopici, o risultano totalmente inefficaci nel conduire a un superamento delle difficoltà concettuali della teoria, un obiettivo che è il punto piú interessante del modello QMSL. Il presente lavoro rafforza quindi l’idea ehe la QMSL, come formulata originariamente, vada assunta come schema di base per tentarne le generalizzazioni che risultano necessarie per estenderla al caso di particelle identiche e per darne una versione relativistica.

Резюме

Недавно были рассмот рены негамильтоновы уравнения эволюции д ля описания различных ф изических процессов. Среди этого типа уравнений имеет ся класс, который наибол ее широко исследуетс я и который обычно называют, как квантовые динамичес кие полугрупповые ур авнения. В частности, уравнение типа квантового динамиче ского полугрупповог о уравнения рассматривается как основа модели, называемой кв антовой механикой со спонтанной локализацией, котора я обнаруживает некото рые интересные особе ности, позволяющие преодол еть концептуальные труд ности стандартной кв антовой теории. Квантовая мех аника со спонтанной локализа цией предполагает мо дификацию Шредингеровской эво люции, допуская появление с тохастических проце ссов, в случайный момент вре мени, для волновой функции, что соответствует форма льно приближенным измере ниям положения. В этой стат ье мы исследуем следс твия модификации и/или рас ширения класса рассмотренны х стохастических про цессов, рассматривая спонта нное появление приближенного импул ьса и одно временные и змерения положения и импульса. Показывается, что рас смотренные изменени я в элементарных процес сах имеют неприемлемые следст вия. В частности, они пр иводят либо к существенным изменениям в динамик е микросистем или пол ностью бесполезны с точки зр ения концептуальных преи муществ квантовой ме ханики со спонтанной локализа цией. Данная работа подтве рждает идею, что перво начально сформулированная кв антовая механика со спонтанн ой локализацией може т рассматриваться как основная схема для обобщений, которые яв ляются необходимыми для соответствующего оп исания систем тождественны х частиц и для удовлет ворения релятивистским усло виям.