A model for the macroscopic description and continual observations in quantum mechanics

Summary

Starting from the idea of generalized observables, related to effect-valued measures, as introduced by Ludwig, some examples oi continual observations in quantum mechanics are discussed. A functional probability distribution, on the set of the trajectories which are obtained as output of the continual observation, is constructed in the form of a Feynman integral. Interesting connections with the theory of dynamical semi-groups are pointed out. The examples refer to small systems, but they are interesting for the light they may shed on the problem of the connections between the quantum and the macroscopic levels of description for a large body; the idea of continuous trajectories indeed seems to be essential for the macroscopic level of description.

Riassunto

Partendo dal concetto di osservabile generalizzata, associata a una misura a valori di effetto, come formulato da Ludwig, si discutono alcuni esempi di osservazione continuata in meccanica quantistica. Usando il formalismo dell’integrale di Feynman, si costruisce una distribuzione di probabilità funzionale sull’insieme delle traiettorie che rappresentano i possibili risultati dell’osservazione continuata. Si mettono inoltre in evidenza interessanti connessioni con la teoria dei semigruppi dinamici. Gli esempi si riferiscono a sistemi con pochi gradi di libertà; il loro interesse è tuttavia sopratutto in ordine alla luce che possono gettare sul problema del rapporto tra il livello di descrizione quanto-meccanica e di descrizione macroscopica di un corpo grande, per la quale ultima il concetto di traiettoria continua sembra essere essenziale.

РЕжУМЕ

ИсхОДь Иж ИДЕИ О6ОБЩЕН Иых НАБлУДАЕМых ВЕлИЧИИ, сВьжАННых c Иж МЕРЕНИЕМ ЁФФЕктИВНы х жНАЧЕНИИ, кАк БылО сФ ОРМyлИРОВАНО лУДВИгО М, ОБсУжДАУтсь Н кАк БылО сФОРМyлИРОВА НО лУДВИгОМ, ОБсУжДАУ тсь НЕкОтОРыЕ пРИМЕР ы НЕпРЕРыВНых ИжМЕРЕ НИИ В кВaНтОВОИ МЕхАНИ кЕ. ИспОльжУь ФЕИНМАН ОВскИИ ФОРМАлИжМ ИН НЕкОтОРыЕ пРИМЕРы НЕ пРЕРыВНых ИжМЕРЕНИИ В кВaНтОВОИ МЕхАНИкЕ. И спОльжУь ФЕИНМАНОВс кИИ ФОРМАлИжМ ИНтЕгР АлОВ, кОНстРyИpУЕтсь РА спРЕДЕлЕНИЕ ФУНкцИО НАльНОИ ВЕРОьтНОстИ НА сИстЕМЕ тРАЕктОРИ И, кОтОРыЕ п МЕхАНИкЕ. ИспОльжУь Ф ЕИНМАНОВскИИ ФОРМАл ИжМ ИНтЕгРАлОВ, кОНст РyИpУЕтсь РАспРЕДЕлЕН ИЕ ФУНкцИОНАльНОИ ВЕ РОьтНОстИ НА сИстЕМЕ тРАЕктОРИИ, кОтОРыЕ п РЕДстАВльУт ВОжМОжН ыЕ РЕжУльтАты НЕпРЕР ыВНых ИжМЕРЕНИИ. ОтМЕ ЧАУтсь ИНтЕРЕсНыЕ сВ ьжИ с тЕОРИЕИ Д ИНтЕгРАлОВ, кОНстРyИpУ Етсь РАспРЕДЕлЕНИЕ Ф УНкцИОНАльНОИ ВЕРОь тНОстИ НА сИстЕМЕ тРА ЕктОРИИ, кОтОРыЕ пРЕД стАВльУт ВОжМОжНыЕ Р ЕжУльтАты НЕпРЕРыВН ых ИжМЕРЕНИИ. ОтМЕЧАУ тсь ИНтЕРЕсНыЕ сВьжИ с тЕОРИЕИ ДИНАМИЧЕск Иχ пОлУгРУпп. пРИМЕРы ОтНОсьтсь к МАлыМ сИс тЕМАМ, НО ОНИ ьВльУтсь ИНтЕРЕсНьпМ ФУНкцИОНАльНОИ ВЕРО ьтНОстИ НА сИстЕМЕ тР АЕктОРИИ, кОтОРыЕ пРЕ ДстАВльУт ВОжМОжНыЕ РЕжУльтАты НЕпРЕРыВ Ных ИжМЕРЕНИИ. ОтМЕЧА Утсь ИНтЕРЕсНыЕ сВьж И с тЕОРИЕИ ДИНАМИЧЕс кИχ пОлУгРУпп. пРИМЕР ы ОтНОсьтсь к МАлыМ сИ стЕМАМ, НО ОНИ ьВльУтс ь ИНтЕРЕсНьпМИ, т.к. МОг Ут пРОлИть сВЕт НА пРО БлЕМУ сВьжИ МЕжДУ кВА НтОВыМ И МaкpoскОпИЧecкИ М УРОВНьМИ ОпИсАНИь кОтОРыЕ пРЕДстАВльУ т ВОжМОжНыЕ РЕжУльтА ты НЕпРЕРыВНых ИжМЕР ЕНИИ. ОтМЕЧАУтсь ИНтЕ РЕсНыЕ сВьжИ с тЕОРИЕ И ДИНАМИЧЕскИχ пОлУг РУпп. пРИМЕРы ОтНОсьт сь к МАлыМ сИстЕМАМ, НО ОНИ ьВльУтсь ИНтЕРЕс НьпМИ, т.к. МОгУт пРОлИт ь сВЕт НА пРОБлЕМУ сВь жИ МЕжДУ кВАНтОВыМ И М aкpoскОпИЧecкИМ УРОВНьМИ ОпИсАНИь БОльшИх тЕл; Дль кОтОРых ИДЕь НЕпР ЕРьпВНьιχ тРАЕктОРИ И, пО-ВИДИМОМУ, ьВльЕтс ь сyЩecтВЕННОИ Дль МА НЕпРЕРыВНых ИжМЕРЕН ИИ. ОтМЕЧАУтсь ИНтЕРЕ сНыЕ сВьжИ с тЕОРИЕИ Д ИНАМИЧЕскИχ пОлУгРУ пп. пРИМЕРы ОтНОсьтсь к МАлыМ сИстЕМАМ, НО ОН И ьВльУтсь ИНтЕРЕсНь пМИ, т.к. МОгУт пРОлИть сВЕт НА пРОБлЕМУ сВьж И МЕжДУ кВАНтОВыМ И Мaк poскОпИЧecкИМ УРОВНьМИ О пИсАНИь БОльшИх тЕл; Д ль кОтОРых ИДЕь НЕпРЕ РьпВНьιχ тРАЕктОРИИ, пО-ВИДИМОМУ, ьВльЕтсь сyЩecтВЕННОИ Дль МАкpОск ОпИЧecкОгО УРОВНь ОпИс АНИь. тЕОРИЕИ ДИНАМИЧЕскИ χ пОлУгРУпп. пРИМЕРы О тНОсьтсь к МАлыМ сИст ЕМАМ, НО ОНИ ьВльУтсь И НтЕРЕсНьпМИ, т.к. МОгУт пРОлИть сВЕт НА пРОБл ЕМУ сВьжИ МЕжДУ кВАНт ОВыМ И МaкpoскОпИЧecкИМ У РОВНьМИ ОпИсАНИь БОл ьшИх тЕл; Дль кОтОРых И ДЕь НЕпРЕРьпВНьιχ тР АЕктОРИИ, пО-ВИДИМОМУ, ьВльЕтсь сyЩecтВЕННОИ Д ль МАкpОскОпИЧecкОгО УР ОВНь ОпИсАНИь. МАлыМ сИстЕМАМ, НО ОНИ ьВльУтсь ИНтЕРЕсНьп МИ, т.к. МОгУт пРОлИть с ВЕт НА пРОБлЕМУ сВьжИ МЕжДУ кВАНтОВыМ И Мaкpoс кОпИЧecкИМ УРОВНьМИ Оп ИсАНИь БОльшИх тЕл; Дл ь кОтОРых ИДЕь НЕпРЕР ьпВНьιχ тРАЕктОРИИ, п О-ВИДИМОМУ, ьВльЕтсь с yЩecтВЕННОИ Дль МАкpОскО пИЧecкОгО УРОВНь ОпИсА НИь. пРОлИть сВЕт НА пРОБл ЕМУ сВьжИ МЕжДУ кВАНт ОВыМ И МaкpoскОпИЧecкИМ У РОВНьМИ ОпИсАНИь БОл ьшИх тЕл; Дль кОтОРых И ДЕь НЕпРЕРьпВНьιχ тР АЕктОРИИ, пО-ВИДИМОМУ, ьВльЕтсь сyЩecтВЕННОИ Д ль МАкpОскОпИЧecкОгО УР ОВНь ОпИсАНИь. МaкpoскОпИЧecкИМ УРОВНьМ И ОпИсАНИь БОльшИх тЕ л; Дль кОтОРых ИДЕь НЕп РЕРьпВНьιχ тРАЕктОР ИИ, пО-ВИДИМОМУ, ьВльЕт сь сyЩecтВЕННОИ Дль МАк pОскОпИЧecкОгО УРОВНь О пИсАНИь. кОтОРых ИДЕь НЕпРЕРь пВНьιχ тРАЕктОРИИ, пО-ВИДИМОМУ, ьВльЕтсь сyЩ ecтВЕННОИ Дль МАкpОскОп ИЧecкОгО УРОВНь ОпИсАН Иь. ьВльЕтсь сyЩecтВЕННОИ Д ль МАкpОскОпИЧecкОгО УР ОВНь ОпИсАНИь. ОпИсАНИь.