On Bloch and Nordsieck’s divergence

Summary

The convergence of the expestation value$\bar N$ of the number of soft photons emitted by a given classical current is studied, using Bloch and Nordsieck’s approximation. It is found thatN is finite, whenever the particles producing the field are moving in a finite volume of space. Therefore in every experiment that can really be done the number of emitted photons is finite. Bloch and Nordsieck’s divergence, which arises in the case of a charged particle undergoing a transition between two definite momentum states, corresponds to experimental conditions which can not be reached in nature (an infinite volume of space is necessary). In the Appendix a less stringent condition for the convergence of$\bar N$ is derived.

Riassunto

Si studia qui la convergenza del numero medioN di fotoni di bassa energia emesso da una assegnata distribuzione classica di corrente, usando l’approssimazione di Bloch e Nordsieck. Si sono ricavate condizioni sufficienti perchèN sia finito. La più immediata assicura che$\bar N$ è finito ogniqualvolta le cariche che producono il campo si muovono in un volume finito di spazio. Perciò in ogni esperimento realmente effettuabile il numero di fotoni emessi è finito. Un’altra condizione sufficiente per la convergenza di$\bar N$, dedotta nell’Appendice, è che la velocità delle cariche tenda a 0 con una potenzaɛ < 0 del tempo, quando questo tende a ± ∞. Seɛ = 0 la convergenza diN non è più garantita: ricade in questo caso il moto di una carica che passa da uno stato ad un altro di impulsi determinati. In quest’esempio, studiato da Bloch e Nordsieck, è noto che$\bar N$ diverge. Però esso corrisponde a condizioni sperimentali che non possono essere realizzate in natura (volume infinito dello spazio necessario).