Ladder series convergence and the Bethe-Salpeter equation

Summary

The convergence of the ladder-graph series is investigated in the case of the scattering of spinless particles in the direct channel. We introduce on the space of the off-shell wave functions an appropriate Hilbert-space structure, such that the B-S integral operator is bounded in this space and the convergence of the iterative off-shell series implies the convergence on shell. These results provide a more satisfactory justification for the use of the B-S integral equation and, furthermore, the introduced formalism enables us to write the B-S equation in the Hilbert space without any change of the symmetry properties.

Riassunto

Si studia la convergenza della serie dei grafici ladder nel caso della diffusione di particelle senza spin. Si introduce una appropriata struttura hilbertiana nell’insieme delle funzioni d’onda off-shell, tale che l’operatore integrale di Bethe-Salpeter risulta limitato in tale spazio e la convergenza della serie iterativa off-shell implica la convergenza della serie on-shell. Questi risultati offrono una giustificazione più soddisfacente per l’uso dell’equazione integrale di Bethe-Salpeter e, inoltre, il formalismo introdotto permette di scrivere l’equazione di Bethe-Salpeter nello spazio di Hibert senza alterarne le proprietà di simmetria.

Резюме

Исследуется сходимость ряда лестничных графиков в случае рассеяния бесспиновых частиц в прямом канале. Мы вводим на пространстве волновых функций, вне поверхности, соответствуюшую структуру гильбертового просгранства, такую, что интегральный Б-С оператор является ограниченным в этом пространстве, и сходимость итерационного ряда вне поверхности оэначает сходимость на поверхности. Эти результаты дают более удовлетворительное оправдание использования интегрального уравнения Б-С и более того, введенный формализм позволяет нам записать уравнение Б-С в гильбертовом пространстве без измения свойств симметрии.