Complex angular momentum and three-dimensional Lorentz group

Summary

The integral equation for the scattering amplitude in field theory is investigated when the fixed parameter is the momentum transfer. Its symmetry under a three-dimensional Lorentz group is employed to reduce the number of its variables and in this process two parameters,l andτ, are introduced, corresponding to the complex angular momentum and to the « signature ». As to every complexl corresponds an irreducible representation of the three-dimensional Lorentz group, a satisfying group-theoretical justification of the complex angular momentum is obtained. Formulas for the high-energy scattering amplitude are derived, which resemble the Watson-Sommerfeld formula modified by Mandelstam. The connection of our equations with the analytically continued Bethe-Salpeter equation is clarified.

Riassunto

Si studia l’equazione integrale per l’ampiezza di diffusione in teoria di campo nel caso in cui il parametro fisso è il momento trasferito. Si impiega la simmetria di questa equazione rispetto ad un gruppo di Lorentz tridimensionale per ridurre il numero delle sue variabili ed in questo procedimento vengono introdotti due parametri,l e τ, corrispondenti al momento angolare complesso ed alla « segnatura ». Siccome ad ogni valore complesso dil corrisponde una rappresentazione irriducibile del gruppo di Lorentz tridimensionale, si ottiene cosi una giustificazione soddisfacente del momento angolare complesso nell’ambito della teoria dei gruppi. Si derivano delle formule per l’ampiezza di diffusione ad alta energia che assomigliano alla formula di Sommerfeld-Watson modiflcata da Mandelstam. Si chiarisce la connessione delle equazioni ottenute con l’equazione di Bethe-Salpeter continuata analiticamente.