How to avoid « secular » terms in classical and quantum mechanics

Summary

This paper discusses perturbation theories in classical and quantum mechanics which avoid secular terms. It is shown that the «averaging» method put forward by Bogoliubov, Mitropolsky and Kruskal can in many cases be replaced by a method constructing a formal transformation which brings the Hamiltonian into a normal form. The transformation bears great resemblance to the Foldy-Wouthuysen transformation of the Dirac equation.

Riassunto

In questo articolo si discutono quelle teorie perturbative nella meccanioa classica e quantistica che evitano i termini secolari. Si dimostra che il metodo « delle medie » proposto da Bogoliubov, Mitropolsky e Kruskal puÒ essere in molti casi sostituito dalla costruzione di una trasformazione formale che pone la Hamiltoniana in una forma normale. Questa trasformazione somiglia molto a quella di Foldy-Wouthuysen dell’equazione di Dirac.

РЕжУМЕ

В ЁтОИ стАтьЕ ОБсУжДА Утсь тЕОРИИ ВОжМУЩЕНИИ В клАссИЧ ЕскОИ И кВАНтОВОИ МЕх АНИкЕ, кОтОРыЕ пОжВОл ьУт ИжБЕжАть сЕкУльР Ных ЧлЕ кОтОРыЕ пОжВОльУт Иж БЕжАть сЕкУльРНых Чл ЕНОВ. пОкАжыВАЕтсь, Чт О МЕтОД « УсРЕДНЕНИь », пРЕДлОжЕННыИ БОгОлУ БОВыМ, МИтРОпОльскИМ И кРУскАлОМ пОкАжыВАЕтсь, ЧтО МЕт ОД « УсРЕДНЕНИь », пРЕД лОжЕННыИ БОгОлУБОВы М, МИтРОпОльскИМ И кРУ скАлОМ, ВО МНОгИх слУЧ Аьх МОжЕт Быть жАМЕНЕ Н МЕтОДОМ кОНстРУИРО ВАНИь ФОРМАльНОгО пР ЕОБРАжОВАНИь, кОтОРО БОгОлУБОВыМ, МИтРОпО льскИМ И кРУскАлОМ, ВО МНОгИх слУЧАьх МОжЕт Быть жАМЕНЕН МЕтОДОМ кОНстРУИРОВАНИь ФОР МАльНОгО пРЕОБРАжОВ АНИь, кОтОРОЕ пРИВОДИ т гАМИльтОНИАН к НОРМ АльНОМУ ВИДУ. ЁтО пРЕО БРАжОВАНИЕ ОЧЕНь пОх ОжЕ НА пРЕОБРАжОВАНИ Е ФОлДИ-В слУЧАьх МОжЕт Быть жА МЕНЕН МЕтОДОМ кОНстР УИРОВАНИь ФОРМАльНО гО пРЕОБРАжОВАНИь, кО тОРОЕ пРИВОДИт гАМИл ьтОНИАН к НОРМАльНОМ У ВИДУ. ЁтО пРЕОБРАжОВ АНИЕ ОЧЕНь пОхОжЕ НА п РЕОБРАжОВАНИЕ ФОлДИ-ВОУтУИсЕНА Дль УРАВН ЕНИь ДИРАкА. ФОРМАльНОгО пРЕОБРА жОВАНИь, кОтОРОЕ пРИВ ОДИт гАМИльтОНИАН к Н ОРМАльНОМУ ВИДУ. ЁтО п РЕОБРАжОВАНИЕ ОЧЕНь пОхОжЕ НА пРЕОБРАжОВ АНИЕ ФОлДИ-ВОУтУИсЕН А Дль УРАВНЕНИь ДИРАк А. гАМИльтОНИАН к НОРМА льНОМУ ВИДУ. ЁтО пРЕОБ РАжОВАНИЕ ОЧЕНь пОхО жЕ НА пРЕОБРАжОВАНИЕ ФОлДИ-ВОУтУИсЕНА Дль УРАВНЕНИь ДИРАкА. ОЧЕНь пОхОжЕ НА пРЕОБ РАжОВАНИЕ ФОлДИ-ВОУт УИсЕНА Дль УРАВНЕНИь ДИРАкА. УРАВНЕНИь ДИРАкА.