Langevin and Smoluchowski equations for a particle in a dissipative medium via the solution of the HJ equation

Summary

The action function for a one-dimensional particle in a dissipative medium is obtained in a formal way by splitting the Hamilton-Jacobi equation in a deterministic and a stochastic part. For an harmonic oscillator, the velocity turns out to be given by a linear Langevin equation with coloured Gaussian noise. In the overdamped case, there appear two types of solutions to the HJ equation, one which describes particles mainly controlled by their kinetic energy, the other by the drift velocity, due to the potential. These lead to different configurational diffusion equations. A more general analysis of the solutions expanded in powers of the inverse of the viscosity coefficient is carried out for any potential and similar results are obtained.

Riassunto

Si rappresenta formalmente l'azione di una particella in un mezzo dissipativo unidimensionale separando l'equazione di Hamilton-Jacobi in una parte deterministica e in una stocastica. Per un oscillatore armonico, la velocità risulta data da un'equazione di Langevin lineare con rumore gaussiano colorato. Nel caso aperiodico, appaiono due tipi di soluzioni dell'equazione HJ, l'una, che descrive particelle controllate soprattutto dalla loro energia cinetica, l'altra, dalla velocità di trascinamento dovuta alle forze potenziali. Queste conducono a equazioni di diffusione configurazionali diverse. Si procede con un'analisi delle soluzioni espanse in potenze dell'inverso del coefficiente di viscosità, per un potenziale qualunque, ottenendo risultati dello stesso tipo dei precedenti.

Резюме

Функция действия для одномерной частицы в диссипативной среде получается формальным образом в результате расщепления уравнения Гамильтона-Якоби на детерминистическую и стохастические части. Оказывается, для гармонического осциллятора скорость задается линейным уравнением Ланжевена с цветным гауссовым шумом. В случае сверхкритического затухания появляются два типа решений уравнения Гамильтона-Якоби, один описывает кинетическую энергию частиц, а другой—дрейфовую скорость, обусловленную потенциалом. Эти два типа решений приводят к различным конфигурационным диффузионным уравнениям. Для случая произвольного потенциала проводится общий анализ решений, разложенных по степеням обратного коэффициента вязкости.