Covariant functional quantization of a particle in general metric

Summary

In this paper we work out the quantum mechanics of a free particle in genral metric from the functional point of view. We want to obtain ageneral coordinate transformations (GCT) covariant definition of the path integral. To this end we redefine the Δx on the time lattice so that the «velocity» Δx/Δt behaves as a GCT vector at the quantum level. The resulting Hamiltonian is the canonical one plus a term proportional to the scalar curvature, in agreement with DeWitt classical paper. The case of a vector potential interaction is also worked out.

Riassunto

In questo lavoro formuliamo la meccanica quantistica funzionale di una particella libera in metrica generica. Vogliamo ottenere un integrale funzionale che sia covariante sotto trasformazioni generali di coordinate (GCT). A tal fine ridefiniamo il Δx sul reticolo temporale così che, anche a livello quantistico, la «velocità» Δx/Δt si comporti come un vettore per GCT. L'hamiltoniana risultante è quella canonica piú un termine proporzionale alla curvatura scalare, in accordo con quanto ottenuto da DeWitt in un lavoro classico. Viene anche trattato il caso in cui è presente un potenziale vettore.

Резюме

В этой статье мы формулируем квантовую механику свободной частицы в общей метрике. Мы хотим получить функциональный интеграл, который является ковариантным относительно общего преобразования координат. Затем мы заново определяем Δx на временной решетке так, что “скорость” Δx/Δt преобразуется как вектор на квантовом уровне при общих преобразованиях коордниат. Результирующий Гамильтониан представляет канонический Гамильтониан плюс член, пропорциональный скалярной кривизне, что согласуется с классической работой де Витта. Также рассматривается случай векторного потенциала.