On the quantization of the world-line

Summary

The fully covariant formalism of the quantization of a world-line is presented. It leads naturally to the Dirac equation. We use the Stueckelberg 4-dimensional normalization of the wave function ψ. If ψ is localized in a certain 4-dimensional region, then it represents a particle with indefinite mass. The product ψ^* ψ integrated over a 4-volume is the probability of finding a particle (in general with indefinite mass) within this 4-volume. This should be distinguished from the probability that a world-line will penetrate through a certain 3-dimensional spacelike hypersurface. It is demonstrated that the probability density is always positive though the zero component of the currentj ^μ can be negative. It is also shown that the components of the canonical momentump ^μ (which can all be negative) do not represent a particle’s energy-momentum. A particle’s energy (and momentum) is given by the integral of its stress energy tensor over a 3-volume encompassing the particle. The result is always positive energy for positive rest mass. This is the formal expression of the so-called reinterpretation principle.

Riassunto

Si presenta il formalismo completamente covariante della quantizzazione della linea d’universo. Questo porta naturalmente all’equazione di Dirac. Si usa la normalizzazione quadridimensionale di Stueckelberg della funzione d’onda ψ. Si ψ è localizzata in una particolare regione quadridimensionale, allora rappresenta una particella con massa indefinita. Il prodotto ψ^* ψ integrato su un quadrivolume è la probabilità di trovare una particella (in generale con massa indefinita) in questo quadrivolume. Questo potrebbe essere distinto dalla probabilità che una linea d’orizzonte penetri attraverso una certa ipersuperficie tridimensionale di tipo spazio. Si dimostra che la densità di probabilità è sempre positiva benché la componente zero della correntej ^μ possa essere negativa. Si mostra anche che le componenti dell’impulso canonicop ^μ (che possono essere tutte negative) non rappresentano l’energia-impulso di una particella. L’energia di una particella (e l’impulso) è data dall’integrale del tensore di sforzo-energia su un trivolume che racchiude la particella. Il risultato è sempre energia positiva per massa in quiete positiva. Questa è l’espressione formale del cosiddetto principio di reinterpretazione.

Резюме

Предлагается полностью ковариантный формализм квантования мировой линии. Этот формализм приводит естественным образом к уравнению Дирака. Мы используем четырехмерную нормировку Стукельберга для волновой функции ψ. Если ψ локализована в некоторой четырехмерной области, то ψ соответствует частице с неопределенной массой. Произведение ψ^* ψ, проинтегрированное по четырехмерному объему, представляет вероятность обнаружения частицы (в общем случае с неопределенной массой) внутри этого четырехмерного объема. Эту вероятность следует отличать от вероятности того, что мировая линия проходит через некоторую трехмерную пространственно-подобную гиперповерхность. Показывается, что плотность вероятности всегда положительная величина, хотя нулевая компонента токаj ^μ может быть отрицательной. Также показывается, что компоненты канонического импудьсаp ^μ (которые все могут быть отрицательными) не представляют энергию-импульс частицы. Энергия (и импульс) частицы определяется интегралом от тензора напряжений-энергии по трехмерному объему, охватывающему частицу. Для положительной массы покоя всегда получается положительная энергия. Это формальное выражение представляет так называемый принцип реинтерпретации.