Stable analytic continuation and unitarity

Summary

In theoretical physics, in inverting the operator equationAf=h (wheref is «the cause»,h is «the effect» andA is some continuous operator representing a physical law) it is not sufficient forA ⁻¹ to exist and to be unique; it is also necessary that it be continuous, in order to preserve the theory from the instabilities that might arise from the never exact knowledge of the inputh. Usually stability is obtained by restricting the set off's in which the solution is sought, to a compact set. The basic idea is then to exploit the fact that different theoretical methods which are logically equivalent (are tautological) and, thus, yield exactly the same result when fed with «absolutely correct» data, could behave in totally different ways when faced with approximate (incomplete and/or error-affected) data. It makes then sense to find among all tautological methods the one which is most insensitive to the imprecision of the knowledge of the input data. In this paper we will first treat the problem of analytic continuation of the scattering amplitude from a limited part of the cuts, first without imposing unitarity and then with imposing it, on the right-hand cut. In Sect.4 we come back to this problem by means of theN/D method, seeking those equations which are less sensitive to the errors of the left-hand data (in this case «correct» data mean that the given left-hand cut limiting values are absolutely consistent with both analyticity and unitarity). Some applications connected with the localization of singularities of the scattering amplitude are then displayed in Sect.5.

Riassunto

In fisica teorica, per invertire l'equazione agli operatoriAf=h (dovef è «la causa»,h «l'effetto» edA un operatore continuo che rappresenta una legge fisica) non è sufficiente cheA ⁻¹ esista e sia unico; è anche necessario che sia continuo, per preservare la teoria dalle instabilità che potrebbero derivare dalla conoscenza mai esatta dell'ingressoh. Solitamente si ottiene la stabilità restringendo l'insieme dellef in cui si cerca la soluzione a un insieme compatto. L'idea fondamentale è di utilizzare il fatto che metodi teorici differenti che sono equivalenti dal punto di vista logico (sono tautologici) e quindi danno esattamente lo stesso risultato quando sono riforniti con dati «assolutamente corretti», possono comportarsi in modo totalmente diverso di fronte a dati approssimati (incompleti e/o affetti da errore). Allora ha senso trovare tra tutti i metodi tautologici quello che è più insensibile alle imprecisioni nella conoscenza dei dati di ingresso. In questo lavoro si tratta il problema della continuazione analitica nella regione del taglio di destra dell'ampiezza di scattering, a partire da una porzione limitata in corrispondenza dei tagli, prima senza imporre l'unitarietà e poi imponendola. Nella Sez.4 si ritorna al problema col metodo delle equazioniN/D, cercando quelle meno sensibili agli errori dei dati della parte sinistra (in questo caso dati «corretti» significa che i valori limite del taglio di sinistra sono assolutamente coerenti sia con l'analiticità che con l'unitarietà). Nella Sez.5 si mostrano alcune applicazioni connesse con la localizzazione di singolarità dell'ampiezza di scattering.

Резюме

В теоретической физике в обращенном операторном уравненииAf=h (гдеf является «причиной»,h есть «эффект⎴a иA представляет непрерывный оператор, ссответствующий физическому закону) недостаточно, чтобыA ⁻¹ сушествовал и был единственным, также необходимо, чтобы оператор был непрерывным, чтобы избежать в теории неустойчивостей, которые могут возникнуть из отсутствия точного знания исходной величиныh. Обычно устойчивость получается благодаря требованию комлактности для системыf, в которой ищется решение. Основная идея состоит в использовании того факта, что различные теоретические методы, которые являются логически эквивалентными (являются тавтологическими), приводят к тому же результату, когда они исходят из «абсолютно корректных» данных, и могут приводить к полностью различным резултатам, когда сталкиваются с приближенными данными. Предпринимается попытка найти среди всех тавтологических методов один, который является наиболее нечувствительным к неточности знания исходных данных. В этой статье мы рассматриваем аналитическое продолжение амплитуды рассеяния из ограниченной части разрезов, сначала без наложения требования унитарности, а затем накладывая его на правосторонний разрез. В разделе 4 мы возвращаемся к этой проблеме с помощьюN/D уравнений, которые менее чувствительны к ошибкам левосторонних данных (в этом случае «корректные» данные означают, что заданные ограниченные величины левостороннего разреза полностью согласуются с аналитичностью и унитарностьу). Некоторые применения, связанные с локализацией сингулярностей амплитуды рассеяния, рассматриваются в разделе 5.