Variational bounds to the excited states from a generalized Brillouin-Wigner equation

Summary

A generalized Brillouin-Wigner equation for the firstM levels of a HamiltonianH=H ₀+gV is derived. For positive interactionsgV>0 the Lippmann-Schwinger matrix functionals provide upper and lower bounds to these levels; the stationary values are related to the matrix Padé approximants when the Cini-Fubini ansatz is used. Numerical examples show that the [0/1] matrix Padé approximant gives a lower bound as accurate as the corresponding Rayleigh-Ritz upper bound when the same trial functions are used.

Riassunto

Si deriva un'equazione di Brillonin-Wigner generalizzata per i primiM livelli di un hamiltonianaH=H ₀+gV. Per interazioni positivegV>0 i funzionali matriciali di Lippmann-Schwinger forniscono stime per eccesso e per difetto a questi livelli; i valori stazionari sono connessi agli approssimanti di Padé quando si usa l'ansatz di Cini-Fubini. Esempi numerici mostrano che l'approssimante matriciale [0/1] di Padé dà una stima per difetto accurata come la corrispondente stima per eccesso di Rayleigh-Ritz ottenuta usando lo stesso numero di funzioni di prova.

Резюме

Выводится обобщенное уравнение Бриллюэна-Вигнера для первыхM уровней ГамильтонианаH=H ₀+gV. Для положительных взаимодействийgV>0 функционалы матрицы Липпмана-Швингера дают верхние и нижние границы зтих уровней. Стационарные значения связаны с матричным Падэ приближением, когда используется подход Чини-Фубини. Численные примеры показывают, что [0/1] матричное Падэ приближение дает нижнюю границу, а приближение Релея-Ритца—верхную границу, когда используются те же пробные функции.