Current commutation relations and continuous tensor products

Summary

We propose a method for constructing tensor products of representations of Lie groups over a continuous variable such as a space co-ordinate. This gives realizations of the equal-time commutation relations of a quantized current density, which generates local transformations of any Lie groupG. The operators act in a linear space furnished with a «scalar product», which however is not always nonnegative. IfG=SU ₂ we obtain an indefinite «metric» in the ferromagnetic representation, and ifG=Heisenberg-group we obtain the usual Fock representation, which of course has got a positive metric. Finally by a change of localization the usual free relativistic quantized boson field is obtained.

Riassunto

Si propone un metodo per costruire prodotti tensoriali delle rappresentazioni dei gruppi di Lie su una variabile continua, ad esempio una coordinata spaziale. Questo permette di realizzare relazioni di commutazione di tempo uguale di una densità di corrente quantizzata, che genera trasformazioni locali di ogni gruppoG di Lie. Gli operatori operano in uno spazio lineare dotato di «prodotto scalare», che, tuttavia, non è sempre non negativo. SeG=SU ₂ si ottiene una metrica indefinita nella rappresentazione ferromagnetica, e seG è il gruppo di Heisenberg si ottiene la solita rappresentazione di Fock, che ovviamente ha metrica positiva. Infine con uno scambio di localizzazione si ottiene il solito campo libero, relativistico, quantizzato dei bosoni.

Резюме

Мы предлагаем метод для конструирования тензорных произведений представлений групп Ли по непрерывной переменной, такой, как пространственная координата. Это приводит к выполнениям коммутационных соотношений при совцадающих временах для квантованной плотности тока, которая генерирует локальные трансформции любой группы ЛиG. Операторы действуют в линейном пространстве, снабженным «скалярным произведением», которое, однако, не всегда положительное. ЕслиG=SU ₂, мы получаем бесконечную «метрику» в ферромагнитном представлении, и еслиG=группа Гайзенберга, мы получаем обычное фоковское представление, которое, конечно, имеет положительную метрику. В заключение, посредством изменения локализации получается обычное свободное релятивистское квантованное бозонное поле.