Variational principles for non-Lagrangian field equations

Summary

It is shown that one can formulate a bona fide variational principle for any system of field equations of the first-order time derivative form ∂f _i/∂t=δM[f]/δf _i(x), whereM is a functional off=(f ₁,…,f _n) with no explicit dependence ont. Directly related to the associated second-order time derivative equations, the functional$\Lambda \left[ f \right] = \sum\limits_{j = 1}^n {\int\limits_{t_0 }^{t_1 } {\int\limits_K {((\partial f_j /\partial t)^2 } } } + (\delta M/\delta f_j (x))^2 d^3 xdt$ is an extremum forf that satisfies the first-order equation at the initial instant of timet ₀, as well as (possibly) prescribed boundary conditions over ∂R×[t ₀,t ₁] and a prescribed initial value att=t ₀. By adapting the standard Rayleigh-Ritz procedure, this generic variational principle can be employed to obtain approximate analytical solutions to certain transport and other non-Lagrangian (i.e. phenomenological) field equations.

Riassunto

Si mostra che si può formulare un principio variazionale degno di fede per qualsiasi sistema di equazioni di campo della forma della derivata prima del tempo ∂f _i/∂t=δM[f]/δf _i(x) doveM è un funzionale dif=(f ₁,…,f _n) con nessuna dipendenza esplicita dat. Direttamente collegato alle equazioni associate della derivata seconda del tempo, il funzionale$\Lambda \left[ f \right] = \sum\limits_{j = 1}^n {\int\limits_{t_0 }^{t_1 } {\int\limits_K {((\partial f_j /\partial t)^2 } } } + (\delta M/\delta f_j (x))^2 d^3 xdt$ è un estremo perf che soddisfa l’equazione di primo ordine all’istante iniziale di tempot ₀, così come (eventualmente) condizioni prescritte al contorno per ∂R×[t ₀,t ₁] e un prescritto valore iniziale at=t ₀. Adattando il procedimento standard di Rayleigh-Ritz, questo generico principio varia-zionale può essere impiegato per ottenere soluzioni analitiche approssimate per certe equazioni di campo di trasporto ed altre equazioni di campo non lagrangiane (cioè fenomenologiche).

Резюме

Показывается, что можно сформулировать вариационный принцип для любой системы полевых уравнений в виде производной первого порядка по времени ∂f _i/∂t=δM[f]/δf _i(x), гдеM есть функционалf=(f ₁,…f _n) с неявной зависимостью от времениt. Функционал$\Lambda \left[ f \right] = \sum\limits_{j = 1}^n {\int\limits_{t_0 }^{t_1 } {\int\limits_K {((\partial f_j /\partial t)^2 } } } + (\delta M/\delta f_j (x))^2 d^3 xdt$ который непосредственно связан с уравнениями, содержащими производные второго порядка по времени, представляет экстремум дляf, которая удовлетворяет уравнению первого порядка при начальном мгновенном времрниt ₀, а также заданным граничным условиям в ∂R×[t ₀,t ₁] и заданному начальному значению приt=t ₀. Приспосабливая стандартную продедуру Релря-Ритца, можно использаовать вариационный принцип для получения приближенных аналитических решений некоторых уравнений переноса и других нелагражевых (т.е. феноменологических) уравнений поля.