On the application of a gauss transformation in nonlinear quantum mechanics. II: Problems with spin

Summary

The nonlinear and nonlocal Schrödinger equation with Gaussian kernel, generating in the local-limit case the cubic Schrödinger equation, can only be applied to spin-0 fields. There arises the question in which way the considerations can be extended to spin-1/2 fields. Taking account of the nonlocality and nonlinearity of such a field we have to be aware of an internal spin-orbit coupling in order to describe transitions between different multiplicity. The Pauli equation did not turn out to be a sufficient starting point, as the spin-orbit coupling is incorrectly obtained in a nonrelativistic approach. However, the assumption that the nonlinear term acts as internal potential is sufficient to derive the correct spin-orbit term in the nonlinear and nonlocal case. It is also possible to obtain an approximation method in the nonlocal domain, basing on a self-interacting 3-dimensional harmonic oscillator with spin. In the local limit, where the Gaussian distribution becomes a δ-distribution, the existence of solitonic solutions and the relationship to the superconductivity are discussed.

Riassunto

L'equazione di Schrödinger non lineare e non locale con kernel gaussiano, che genera, nel caso di limite locale, l'equazione cubica di Schrödinger, può essere applicata solo a campi con spin, 0. Sorge il seguente problema: in che modo queste considerazioni possono essere estese a campi di spin 1/2. Prendendo in considerazione la non località e non linearità di tale campo, dobbiamo essere a conoscenza di un accoppiamento interno tra spin e orbita in modo da descrivere transizioni tra diverse multiplicità. L'equazione di Pauli non è risultata essere un punto di partenza sufficiente, dato che l'accoppiamento tra spin e orbita è ottenuto non correttamente in un approccio non relativistico. Tuttavia l'ipotesi che il termine non lineare agisca come potenziale interno è sufficiente a derivare il termine spin-orbita corretto nel caso non lineare e non locale. È anche possibile ottenere un metodo di approssimazione nel dominio non locale che si basa su un oscillatore armonico tridimensionale autointeragente con spin. Nel limite locale in cui la distribuzione gaussiana diventa una distribuzione δ, si discutono l'esistenza, di soluzioni solitoniche ed il rapporto con la superconduttività.

Резюме

Нелинейное и нелокальное уравнение Шредингера с гауссовым ядром, которое в локальном пределе порождает кубическое уравнение Шредингера, применимо тобько для полей со спином 0. Возникает вопрос, каким образом указанное рассмотрение может быть обобщено на случай полей со спином половина. Учитывая нелокальность и нелинейность такого поля, мы должны знать внутреннюю спин-орбитальную связь, для того чтобы описать переходы между различной множественностью. Уравнение Паули не является подходящей исходной точкой, так как спин-орбитальная связь окаывается некорректной в нереля-тивистском подходе. Однако, предположение, что нелинейный член действует, как внутренний потенциал, является достаточным для получения корректного спин-орбитального члена в нелинейном и нелокальном случае. Отмечается, что также можно получить приближенный метод в нелокальной области, который основан на самовзаимодействующем трехмерном гармоническом осцилляторе со спином. В локальном пределе, где гауссово распределение становится дельта-распределением, обсуждаются существование солитонных решений и связь с сверхпроводимостью.