Renormalization effects with singular potentials

Summary

The iterative solution of the Schrödinger integral equation (for zero energy) associated with certain singular potentials containing logarithmic singularities of the form logⁿ r/r ² fails to converge unless a cut-off is introduced. The solution for these potentials is shown to be renormalizable by a multiplicative factor dependent upon the cut-off. The existence of a perturbation-series solution with divergent terms as an indication that the closed solution possesses an essential singularity in the expansion parameter is examined for a soluble case, and a functional relationship between this parameter and the cut-off is found which explicitly exhibits the essential singularity in the perturbation series. This phenomenon is conjectured to occur in a more general situation.

Riassunto

La soluzione iterativa dell’equazione integrale di Schrödinger (per energia zero) associata a certi potenziali singolari contenenti singolarità logaritmiche della forma logⁿ r/r ² non converge, a meno che venga introdotto un taglio. Si mostra che la soluzione per questi potenziali è rinormalizzabile se si usa un fattore moltiplicativo dipendente dal taglio. Si esamina per un caso risolubile l’esistenza di una soluzione in serie perturbativa con termini divergenti, come indicazione che la soluzione chiusa possiede una singolarità essenziale nel parametro dello sviluppo, e si trova una relazione funzionale fra questo parametro e il taglio che mostra esplicitamente la singolarità essenziale della serie perturbativa. Si fa l’ipotesi che questo fenomeno si possa verificare in una situazione più generale.