Perturbative expansions for area-preserving maps

Summary

The structure of perturbation series for area-preserving maps is investigated. A basically different behaviour is found between the Birkhoff series, which formally conjugate with circles all the orbits in a neighbourhood of the origin, and the series which map into circles the individual invariant curves with fixed diophantine winding number. The former series exhibit an asymptotic character, the latter a convergent one, as one should expect from the KAM theorem. The source of this difference is found to be the different way in which the contributions of the relevant resonances propagate. In the first case, if ε is the size of the divisor associated to a resonanceM/N, then at each ordern> N an ε⁻¹ contribution occurs, in the second case subtle cancellations provide a new ε⁻¹ only when a harmonic (that isn =pN) is reached. This precise asymptotic statement and the properties of the relevant resonances obtained from the continued fraction expansion allow us, in the case of quadratic irrationals, to understand the limit process which leads to divergence or convergence. In the divergent case the asymptotic properties of the series are exhaustively described.

Riassunto

Si studia la struttura délie serie perturbative per mappe conservative e si riscontra una sostanziale diversità di comportamento tra le série di Birkhoff, che coniugano formalmente con cerchi tutte le orbite in un intorno dell’origine, e le serie che trasformano in cerchi le singole curve invariant! con un fissato numero di rotazione diofantino ; le prime hanno carattere asintotico, le seconde sono convergenti, in accordo col teorema KAM. La causa di tale diversità risiede nel diverso modo di propagazione dei contributi delle risonanze: nel primo caso, dettoε l’ordine di grandezza del denominatore associato alla risonanzaM/N, ad ogni ordinen > N si ha un contributo di ordine ε^-1 nel secondo caso si hanno cancellazioni tali da fornire termini di ordine ε^-1 solo quando si raggiunge un ordine multiplo della risonanza (cioèn =pN). Ciò, congiuntamente alle proprietà delle risonanze connesse con lo sviluppo in frazione continua, consente di comprendere, nel caso di numeri irrazionali quadratici, il processo che porta a serie convergenti o divergenti, di cui si descrivono ampiamente le proprietà asintotiche.

Резюме

Исследуется структу ра пертурбационных рядов для отображени й, сохраняющих площадь. Обнаружено существе нное различие в поведении рядов Биркхоффа, которые фо рмально сопряжены с к ругами всех орбит в окресности на чала отсчета, и рядов, Котор ые отображают в круги отдельные инвариантные кривые с фиксированным числ ом диофантных вращен ий. Первые ряды имеют асимптоти ческий характер, а вторые ряд ы являются сходящими ся, согласно теореме КАМ. Причина такого разли чия связана с различн ым распространением вк ладов соответствующ их резонансов. В первом с лучае, если е есть поря док величины знаменател я, связанного с резона нсом M/N, то в каждом поря дке п > N возникает вкла д ε^-1; каждом порядке п > N воз никает вклад ε^-1; во втором случае тонк ая взаимная компенса ция дает новый вклад ε^-1, только когда достигается кратный резонанс (т.е. если от = p^N). Точное асимптотическое пов едение и свойства соответст вующих резонансов, по лученные из разложения непрерыв ной дроби, позволяют, в слу чае квадратичных иррациональностей, п онять предельный процесс, который прив одит к сходимости или расходимости. В расхо дящемся случае подробно опис ываются асимптотиче ские свойства рядов.