On the quantization of systems with anticommuting variables

Summary

In this paper we consider the pseudomechanics, that is the mechanics of a system described by ordinary canonical variables and by Grassmann variables. We study the canonical formalism and in particular we define the Poisson brackets. We show that the algebra of the Poisson brackets is a graded Lie algebra. Using this fact as a hint for quantization we show that the corresponding quantized theory is the ordinary quantum theory with Fermi operators. It follows that the classical limit (ħ → 0) of the quantum theory is, in general, the pseudomechanics.

Riassunto

In questo lavoro si affronta lo studio della pseudomeccanica, cioè della meccanica di un sistema descritto dalle usuali variabili canoniche e da variabili di Grassmann. Si studia il formalismo canonico e si definiscono le parentesi di Poisson. Si mostra poi che l’algebra di tali parentesi è un’algebra di Lie graduata. Usando questo argomento algebrico come aiuto per la quantizzazione della teoria, si mostra che la corrispondente teoria quantizzata è l’ordinaria teoria quantistica con operatori di Fermi. Segue che, in generale, il limite classico (ħ → 0) della teoria quantistica è la pseudomeccanica.

Реэюме

В зтой работе мы рассматриваем псевдомеханику, которая представляет механику системы, описываемой обыкновенными каноническими переменными и переменными Гроссмана. Мы исследуем канонический формалиэм. В частности, мы определяем скобки Пуассона. Мы покаэываем, что алгебра скобок Пуассона представляет раэновидность алгебры Ли. Испольэуя зтот факт как укаэание для квантования, мы покаэываем, что соответствуюшая квантованная теория представляет обыкновенную квантовую теорию с операторами Ферми. Иэ рассмотрения следует, что классический предел (ħ → 0) квантовой теории является, вообше говоря, псевдомеханикой.