The exponential potential and the Klein-Gordon equation

Summary

We analytically solve thes-wave radial Klein-Gordon equation with an exponential potential. We study in detail the behaviour of particle and antiparticle bound states and phase shifts as a function of the range and strength of the potential. We find our results to be qualitatively similar to those found for the square-well potential. As in the nonrelativistic case for the exponential potential, redundant poles appear in theS-matrix. Some difficulties connected with the interpretation of these results in the framework of a second-quantized theory are briefly considered.

Riassunto

Si risolve analiticamente l’equazione di Klein-Gordon radiale per l’ondas con un potenziale esponenziale. Si studia nei particolari l’andamento degli stati legati e degli spostamenti di fase delle particelle e antiparticelle in funzione dell’intervallo e dell’intensità del potenziale. Si trova che i nostri risultati sono qualitativamente simili a quelli ottenuti per il potenziale a pozzo quadrato. Come nel caso non relativistico per un potenziale esponenziale, appaiono poli sovrabbondanti nella matriceS. Si discutono brevemente alcune difficoltà connesse con l’interpretazione di questi risultati nell’ambito di una teoria con seconda quantizzazione.

Реэюме

Мы аналитически рещаемs-волновое радиальное уравнение Клейна-Гордона с зкспоненциальным потенциалом. Мы подробно исследуем поведение свяэанных состояний для частиц и анти-частиц и фаэовые сдвиги как функцию радиуса действия и силы потенциала. Получается, что нащи реэультаты качественно согла?суются с реэультатами для потенциала прямоугольной ямы. В нерелятивистском случае для зкспоненциального потенциала в S-матрице появляются лищние полюса. Вкратце обсуждаются некоторые трудности, свяэанные с интерпретацией зтих реэультатов в рамках вторично квантованной теории.