Orders of approximation in transport theory for electrons or holes in a scattering medium

Summary

In the framework of the free-path method, a transport quantity for free electrons (or holes) either in gases or in semiconductors in the presence of a static and uniform electric fieldE can be expressed as a sum of terms, each containing as a factor a properly indexed functionV _j (a)=V _j (eE/m), which can be reduced to a series of integrals over the electron speedv. Such integrals are always finite even when nonphysical divergences appear in the corresponding terms of the expansion obtained by approximating the solution of the Boltzmann equation by truncated Legendre expansions. In a wide variety of cases, the integrals (appearing as terms of our series) can be calculated by series expansion, andV _j (a) turns out to be given by a series in powers ofW ²/〈v ²〉≪1, whereW is the drift velocity. This ratio, for elastic collisions, can reach an asymptotic value (for highE fields) of the orderε ²=m/M, wherem andM are the masses of the electron and of a scattering centre, respectively. The integrands appearing in the integrals overv can be expanded in a power series of dimensionless terms containing the accelerationa=eE/m. The term ina ^s produces after integration overv, a corresponding term containing (W ²/〈v ²〉)^s/2. With the aim of calculatingV _j (a) we can, therefore, speak of approximation of orders if terms includinga ^s are retained in the integrands. This allows convenient truncations and the solution of many transport problems with the desired accuracy.

Riassunto

Nel contesto del metodo del cammino integrale, una quantità di trasporto relativa ad elettroni liberi (o buche) in gas o in semiconduttori in presenza di un campo elettricoE costante e uniforme può essere espressa come somma di termini, ognuno contenente come fattore una funzione (con appropriato indice)V _j (a)=V _j (eE/m) che può essere ridotta ad una serie rapidamente convergente di integrali suv ovev è la velocità termica degli elettroni. Nella maggior parte dei casi, gli integrali possono essere risolti per mezzo di sviluppi in serie, e quindiV _j (a) risulta essere una serie rapidamente convergente diW ²/<v ²>≪1, doveW è la velocità di migrazione degli elettroni. Tale rapporto, per collisioni elastiche, può raggiungere un valore asintotico (per alti valori del campo elettricoE) dell'ordine diε ²=m/M, dovem eM sono rispettivamente le masse degli elettroni e delle molecole. Gli integrandi degli integrali suv possono essere sviluppati in una serie di numeri puri contenenti l'accelerazionea=eE/m e ad ogni potenza dia corrisponde, dopo integrazione, la medesima potenza di (W ²/<v ²>)^1/2. Con lo scopo di calcolareV _j (a) è possibile perciò parlare di approssimazione di ordines se i termini includentia ^s compaiono negli integrandi. Gli sviluppi ottenuti sono sempre convergenti anche quando vi sono divergenze non fisiche nei corrispondenti sviluppi ottenuti approssimando la soluzione dell'equazione di Boltzmann per mezzo di sviluppi troncati in polinomi di Legendre.

Резюме

В рамках метода свободного пробега транспортные величины для свободных электронов (или дырок) либо в газах, либо в полупроводниках в присутствии статического и однородного электрического поляE могут быть выражены, как сумма членов, каждый из которых содержит функциюV _j (a)=V _j (eE/m), причем указанные функции могут быть сведены к ряду интегралов по скорости электронаv. Такие интегралы всегда конечны, даже когда появляются нефизические расходимости в соответствующих членах разложения, полученного при приближенном решении уравнения Больцмана с помощью усеченного разложения по полиномам Лежандра. В ряде случаев интегралы (появляющиеся в членах наших разложений) могут быть вычислены с помощью разложения в ряд. Оказывается, чтоV _j (a) представляется в виде ряда по степенямW ²/<v ²> ≪1, гдеW есть скорость дрейфа. Это отношение для упругих соударений может достигать асимптотической величины (для полей с большимиE) порядкаε ²=m/M, гдеm иM массы электрона и рассеивающего центра. Подынтегральные выражения в интегралах поv могут быть разложены в степенной ряд по безразмерному параметру, содержащему ускорениеa=eE/m. Член сa ^s, после интегрирования поv, дает соответствующий член, содержащий (W ²/<v ²>)^s/2. При вычисленияхV _j (a) мы можем говорить о приближении порядкаs, если члены, включающиеa ^s, остаются в подынтегральных выражениях. Указанная процедура позволяет произвести разумное обрывание ряда и получить решение многих транспортсых проблем с желаемой точностью.