Instabilities of the ξ-function regularization in the presence of symmetries

Summary

The ξ-function regularization method requires the calculation of the spectrum-generating function ζ _M of a generic real, elliptic, self-adjoint differential operator on a manifoldM. An asymptotic expansion for ζ _M is given for the class of all symmetric spaces of rank 1, sufficient to compute its Mellin transform and deduce the regularization of the corresponding quadratic path integrals. The summability properties of the generalized ξ-function introduce physical instabilities in the system as negative specific heat. The technique (and the instability as well) is shown to hold—under the assumed symmetry properties—in any dimension (preserving both the global and local properties of the manifold, as opposed to the dimensional regularization, where one adds extra flat dimensions only).

Riassunto

Il metodo di regolarizzazione con la funzione ξ richiede il calcolo di ζ _M , la funzione generatrice di un generico operatore differenziale reale, ellittico, autoaggiunto sulla varietàM. In questo lavoro si dà lo sviluppo asintotico di ζ _M per l'intera classe degli spazi simmetrici di rango 1, il quale è sufficiente per calcolarne la trasformata di Mellin e dedurne la regolarizzazione dei corrispondenti «path integrals» quadratici. Le proprietà di sommabilità della funzione ξ generalizzata introducono instabilità del sistema fisico, come calore specifico negativo. Si mostra come la tecnica (e così pure l'instabilità)—con le proprietà di simmetria ipotizzate—valga in qualsiasi numero di dimensioni (le proprietà sia locali sia globali della varietà sono così conservate, contrariamente a quanto avviene con la regolarizzazione dimensionale, con cui si possono aggiungere dimensioni nuove solo se piatte).