Generalized Galilei groups in classical dynamics

Summary

Thegeneralized Galilean group of a Riemannian space, considered as the configuration space for a classical particle, is defined as the set of all space and time transformations under which the Newtonian acceleration of the particle transforms in a covariant way, and which leaves the metric invariant. This definition is shown to determine the usual Galilei group in the Euclidean space case. Conversely, the Euclidean space is characterized as that having a subgroup of special Galilean transformations of maximal order. The usual relation between the Galilei and Poincaré groups holds for a generalized Galilei group and the isometry group of its embedding space-time.

Riassunto

Si definisce il gruppo generalizzato galileiano di uno spazio riemanniano, considerato come lo spazio delle configurazioni per una particella classica, come il gruppo di tutte le trasformazioni di spazio e di tempo nelle quali l’accelerazione newtoniana della particella si trasforma in modo covariante, e che lascia la metrica invariante. Si mostra che questa definizione determina il gruppo di Galilei usuale nel caso dello spazio euclideo. Per contro, lo spazio euclideo è caratterizzato come quello che possiede un sottogruppo di trasformazioni galileiane speciali di ordine massimale. La relazione usuale tra gruppi di Galilei e Poincaré è valida per un gruppo di Galilei generalizzato e per il gruppo di isometria del suo spazio-tempo di appartenenza.

Резюме

Обобщенная группа Галилея в римановом пространстве, которое рассматривается как конфигурационное пространство для классической частицы, определяется, как система всех пространственных и временных преобразований, при которых ньютоновское ускорение частицы преобразуется ковариантным образом и которые сохраняют метрическую инвариантность. Показывается, что такое определение дает обычную группу Галилея в случае пространства Эвклида. И, наоборот, пространство Эвклида представляет пространство, имеющее подгруппу специальных галилеевых преобразований максимального порядка. Обычное соотношение между группами Галилея и Пуанкаре справедливо для обобщенной группы Галилея и группы изометрии для внедренного пространства-времени.