Gravity and inertia in a Machian framework

Summary

It is suggested that Mach's principle as originally conceived in prerelativistic physics is equivalent to the requirement that the laws of dynamics be invariant under the groupr→A(λ)·r+g(λ), λ→f(λ), where λ is an arbitrary time parameter,A is an orthogonal matrix, andA, g andf are arbitrary functions of λ. This group is called the Leibniz group. The general properties of theories that are invariant under this group are studied. They differ strongly from those of more conventional theories: there is no independent time and no fundamental coupling constants; spherically symmetric cosmological solutions are unique; the equations describing the motion of the Universe as a whole (protophysics) are quite different from the equations describing the motion of local bodies in a given cosmological environment (local physics); the strengths of forces observed locally are determined cosmologically. A particular Leibniz-invariant theory is used to demonstrate these properties. It is shown that in a certain limit, called the cosmological limit, the local dynamics is Galileo invariant, in contrast to the Leibniz-invaraint protophysics. The local dynamics obtained for the solar system reduces to Newtonian dynamics with a small correction. The correct order of magnitude of the gravitational constant is obtained. Under the assumption that planetary dynamics is described by the local dynamics, three independent predictions about the bulk parameters of the Universe can be made. All three agree suprisingly well with current observations. The most striking feature of the local dynamics is that it contains a distinguished velocityv determined by the average motion of the Universe. For the particular model studied here,v=2.45·10¹⁰ cm/s. It is suggested on the basis of this result that the velocity of light and special relativity could reflect the imprint of the Universe at large on local physics. The theory in its present form is still very rudimentary and incomplete and so far merely provides the framework of a Machian theory of gravity and inertia. In particular, the behaviour of rods and clocks and the related problem of the anisotropy of inertial mass can be fully understood only when the rest of physics has been brought into this Machian framework.

Riassunto

Si suggerisce che il principio di Mach nella fisica prerelativistica è equivalente alla richiesta che le leggi della dinamica siano invarianti rispetto al gruppor→A(λ)·r+g(λ), λ→f(λ), dove λ è un parametro arbitrario,A una matrice ortogonale eA, g ef sono funzioni arbitrarie di λ. Questo gruppo viene chiamato il gruppo di Leibniz. Si studiano le proprietà generali delle teorie invarianti rispetto a questo gruppo. Esse sono assai differenti da quelle di teorie più convenzionali: non c'è un tempo indipendente e nessuna costante d'accoppiamento fondamentale; le soluzioni cosmologiche sfericamente simmetriche si riducono ad una sola; le equazioni che descrivono il moto globale dell'Universo («protofisica») sono completamente differenti delle equazioni che descrivono il moto di corpi locali in un determinato universo («fisica locale»); l'intensità delle forze osservate localmente è determinata dalla cosmologia. Per mettere in evidenza queste proprietà si usa una particolare teoria Leibniz-invariante e si mostra che in un certo limite, chiamato il «limite cosmologico», la dinamica locale è invariante per trasformazioni di Galileo. Per il sistema solare essa si riduce alla dinamica newtoniana con una piccola correzione; la costante di gravità ha il corretto ordine di grandezza. Nell'ipotesi che la dinamica dei pianeti sia descritta dalla dinamica locale, si possono trarre tre conclusioni indipendenti circa i parametri globali dell'Universo che si accordano sorprendentemente bene con le correnti osservazioni. La caratteristica più notevole della dinamica locale è il fatto che essa contiene una velocità peculiarev, determinata dal moto medio dell'Universo; per il particolare modello qui studiatov=2.45·10¹⁰ cm s⁻¹. In base a questo risultato si suggerisce che la velocità della luce e la relatività speciale possono riflettere la traccia di tutto l'Universo sulla fisica locale. La teoria nella sua forma presente è ancora assai rudimentale ed incompleta e fornisce solo uno schema di una teoria machiana dell'inerzia e della gravità; in particolare, il comportamento di regoli e di orologi e il problema connesso dell'anisotropia della massa inerziale possono essere pienamente compresi solo se anche il resto della fisica viene formulato in uno schema di machiano di questo genere.

Резюме

Предполагается, что принцип Маха, первоначально предложенный в предрелятивистской физике, является эквивалентным требованию, что законы динамики являются инвариантными относительно группыr→A(λ)·r+g(λ), λ→f(λ), где λ есть произвольный временной параметр,A представляет ортогональную матрицу, иA, g иf являются произвольными функциями λ. Эта группа называется группой Лейбница. Исследуются общие свойства теорий, которые являются инвариантными относительно этой группы. Эти теории сильно отличаются от общепринятых теорий: они не зависят от времени и фундаментальных констант связи; сферически симметричные космологические решения являются единственными; уравнения, описывающие движение Вселенной, как целого (протофизика), существенно отличаются от уравнений, описывающих движение локальных тел в заданном космологическом пространстве (локальная физика); локально наблюдаемые значения сил определяются космологически. Лейбниц-инвариантная теория используется для иллюстрации этих свойств. Показывается, что в некотором пределе, называемом космологическим пределом, локальная динамика является инвариантной относительно преобразований Галилея, в противоположность протофизике инвариантной относительно группы Лейбница. Полученная локальная динамика для солнечной системы сводится к динамике Ньютона с малой поправкой. Получается правильный порядок величины для гравитационной постоянной. Предполагая, что планетарная динамика описывается с помощью локальной динамики, можно сделать три независимых предсказания относительно объемных параметров Вселенной. Все три предсказания удивительно хорошо согласуются с имеющимися экспериментальными данными. Наиболее поразительная особенность локальной динамики состоит в том, что она содержит характерную скоростьv, определяемую средним движением Вселенной. Для рассмотренной в работе моделиv=2.45·10¹⁰ см/с. На основе этого результата предполагается, что скорость света и специальная теория относительности могут отражать Вселенную в целом на локальную физику. Предложенная теория является еще очень элементарной и неполной и пока дает основу для маховской теории гравитации и инерции. В частности, поведение рычага и часов и смежная проблема анизотропии инерционной массы могут быть полностью поняты, когда состояние покоя рассматривается в рамках теории Маха.