Limiting procedures for singular potentials — II

Summary

In a preceding paper, a method was given to construct explicitly the zero-energy physical solution of the Schrödinger equation for singular potentials where the most singular part is repulsive. Here we extend the previous results both for the physical solution in co-ordinate space and for the solution of the Lippman-Schwinger equation. We introduce an arbitrary cut-off, θ(r−ɛ), study the Fredholm type of solution and show that: i) botht he numerator and the denominator diverge in the same way when the cut-off goes to zero and the limit of their ratio is indeed the right solution; ii) if we consider all variables and constants fixed and take the cut-off going to zero, then the solution is the limit of convergent sequences if we connect in a certain manner the cut-off going to zero and the order of Fredholm’s determinants going to infinity, both in the numerator and in the denominator.

Riassunto

In un articolo precedente si è esposto un metodo per costruire esplicitamente la soluzione fisica di energia zero dell’equazione di Schrödinger per potenziali singolari in cui la parte più singolare è ripulsiva. Qui si estendono i risultati precedenti sia alla soluzione fisica nello spazio delle coordinate sia alla soluzione della equazione di Lippman-Schwinger. Si introduce un taglio arbitrario, si studia la soluzione del tipo di Fredholm e si dimostra che: i) sia il numeratore che il denominatore divergono nello stesso modo quando il taglio tende a zero ed il limite del loro rapporto è proprio la giusta soluzione; ii) se si considerano fisse tutte le variabili e le costanti e si fa tendere a zero il taglio, allora la soluzione è il limite di sequenze convergenti se si connette in un certo modo il taglio tendente a zero e l’ordine dei determinanti di Fredholm che tendono all’infinito, sia nel numeratore che nel denominatore.