Electron energy spectrum in a magnetic field for nonconvex bounded energy-constant surfaces

Summary

In this paper we rigorously find the energy eigenvalues for quasi-electrons in a solid in a magnetic fieldH, when the WKB approximation and a quadratic development of the saddle-point type for the dispersion law of quasi-electrons hold. We show that the structure of the energy levels depends strongly on the direction ofH with respect to a cone whose aperture is a function of the quadratic expansion coefficients of the dispersion law. The importance of these results lies in the fact that, though the formal simplicity of a quadratic expansion is not lost, we can deal with a number of different physical situations:a) single orbit;b) single orbit, but with a sign change in the curvature (dog-bone orbit);c) split in two orbits with a tunnelling probability larger than zero. We find the energy eigen values as a function of a parametera, which, in caseb) is proportional to the curvature in the origin of the saddle-point expansion and, in casec), is proportional to the separation between the orbits.

Riassunto

In questo articolo si determinano gli autovalori dell’energia dei quasi-elettroni in un solido in presenza di un campo magnetico, nell’approssimazione WKB e nell’ipotesi che sia valido uno sviluppo quadratico di tipo punto-sella per la legge di dispersione dei quasi-elettroni. Si mostra che la struttura dei livelli di energia dipende fortemente dalla direzione del campo magnetico rispetto a un cono la cui apertura è funzione dei coefficienti dello sviluppo quadratico. L’importanza di questi risultati sta nel fatto che, pur non perdendo la semplicità formale di uno sviluppo quadratico, si può trattare un numero di differenti situazioni fisiche:a) orbita singola;b) orbita singola, ma con un cambiamento di segno nella curvatura (orbita a osso di cane);c) orbite doppie con una probabilità di tunneling maggiore di zero. Si trovano gli autovalori dell’energia in funzione di un parametroa, il quale nel casob) è proporzionale alla curvatura nell’origine dello sviluppo del punto-sella e, nel casoc), è proporzionale alla separazione tra le orbite.

Резюме

В этой работе мы находим собственные значения энергии для квазиэлектронов в трердом теле в магнитном полеH, когда справедливы ВКБ приближение и квадратичное разложение типа седловой точки для закона дисперсии квази-электронов. Мып оказываем, что структура энергетических уровнеи сильно зависит от направления магнитного поля по отношению к конусу, апертура которого является функцией коэффициентов квадратичного разложения для закона дисперсии. Важность этих результатов состоит в том, что, хотя формальная простота квадратичного разложения сохраняется, мы можем рассмотреть ряд различных физических ситуаций: а) отдельная орбита, б) отдельная орбита, но с изменением знака кривизны (орбита в виде собачьей кости), в) расщепление на две орбиты с вероятностью туннельного перехода, отличной от нуля. Мы получаем собственные значения энергии, как, функции параметраa, который: в случае б) пропорционален кривизне в начале разложения типа седловой точки и в случае в) пропорцпоналеи расстоянию между оритами.