The four-dimensional position operator, coherent states and representations of the conformal group

Summary

It is shown that the representation space of the conformal groupSO _4,2 is the Bargmann-Segal space of coherent states |w _μ › of the non-Hermitian position operator$\bar w_\mu ^ +$. The states |w _μ › are coherent in the usual sense of minimal uncertainty ofx _μ andp _μ . The real part of$\bar w_\mu ^ +$ gives the Hermitian position operatorx _μ . Both operators fulfil the canonical commutation relations and are covariant under the conformal group. The imaginary part of$\bar w_\mu ^ +$ describes the dispersion of position. The metric operatorG connecting$\bar w_\mu$ with its adjoint$\bar w_\mu ^ +$ gives the scalar product for various representations of the conformal group.

Riassunto

Si dimostra che lo spazio delle rappresentazioni del gruppo conformeSU _4,2 è lo spazio di Bergmann-Segal degli stati coerenti |w _μ › dell’operatore di posizione non hermitiano$\bar w_\mu ^ +$. Gli stati |w _μ › sono coerenti nel senso usuale di minima incertezza dix _μ ep _μ . La parte reale di$\bar w_\mu ^ +$ dà l’operatore di posizione hermitianox _μ . Entrambi gli operatori soddisfano le relazioni di commutazione canoniche e sono covarianti rispetto al gruppo conforme. La parte immaginaria di$\bar w_\mu ^ +$ descrive la dispersione di posizione. L’operatore metricoG che connette$\bar w_\mu$ col suo aggiunto$\bar w_\mu ^ +$ dà il prodotto scalare per varie rappresentazioni del gruppo conforme.

Реэюме

Покаэывается, что пространство представления конформной группыSO _4,2 представляет пространство Баргмана-Сегала когерентных состояний |w _μ › для незрмитова оператора положения$\bar w_\mu ^ +$. Состояния |w _μ › являются когетентными в обычном смысле для минимальной неопределенностиx _μ иp _μ . Вешественная часть$\bar w_\mu ^ +$, определяет зрмитов оператор положенияx _μ Оба оператора удовлетворяют каноническим соотнощениям коммутации и являются ковариантными относительно конформной группы. Мнимая часть$\bar w_\mu ^ +$ описывает дисперсию положения. Метрический операторG, свяэываюший$\bar w_\mu$ с сопряженным$\bar w_\mu ^ +$, определяет скалярное проиэведение для раэличных представлений конформной группы.