A method for the analytic continuation of theS-matrix for cut-off potentials

Summary

Thel-th partial-waveS-matrix element for cut-off potentials is Taylor-expanded in the energy and momentum variables. The expansion is based on a suitable finite-interval Green’s function, by which the derivatives are obtained in a recursion form involving only repeated integrations of the Green’s function itself. The Taylor series can be analytically continued by resorting to the Padé method; some results of a numerical experiment are quoted. In this paper, however, the emphasis is put on a rather indirect but rigorous procedure based on the Hadamard theory, which allows us to determine, in principle, all the poles of theS-matrix starting from its momentum Taylor series. Numerical results are displayed.

Riassunto

Nell’ambito del problema di diffusione da parte di potenziali a raggio finito, si deduce uno sviluppo della matriceS in serie di potenze dell’energia e del momento per una generica onda parziale. Il procedimento è basato sull’introduzione di un’opportuna funzione di Green a raggio finito, tramite la quale i coefficienti dello sviluppo sono ottenuti in una forma ricorrente che implica solo ripetute integrazioni della funzione di Green stessa. La serie di Taylor così ottenuta può essere prolungata analiticamente ricorrendo al metodo di Padé; si riportano alcuni risultati di esperimenti numerici condotti con questo metodo. In questo lavoro, tuttavia, si è preferito porre l’enfasi su un metodo per il prolungamento analitico diS che è meno diretto ma rigoroso; tale procedimento, che è basato sulla teoria di Hadamard, consente, in linea di principio, di determinare tutti i poli dell’elemento di matrice di diffusione a partire dalla serie di Taylor. Anche riguardo a questo metodo si riportano alcuni risultati numerici.

Реэюме

Парциальныйl-й злементS-матрицы для обреэанных потенциалов раэлагается в ряд Тейлора по знергетической и импульсной переменным. Раэложение основано на соответствуюшей функции Грина в конечном интервале, благодаря которой проиэводные эаписываются в рекурентной форме, включаюшей только повторные интегрирования гриновской функции. Этот ряд Тейлора может быть аналитически продолжен, испольэуя метод Паде. В зтой работе приводятся некоторые реэультаты численного зксперимента. Однако, основное внимание уделяется довольно косвенной, но строгой процедуре, основанной на теории Хадамарда, которая поэволяет определить, в принципе, все полюса S-матрицы, исходя иэ ряда Тейлора по импульсной переменной. Приводятся численные реэультаты.