Integral Boltzmann equation in the study of diffusion of test particles

Summary

The problem of test particles which, in the presence of an external conservative force, diffuse through a random distribution of field particles, is extensively studied by resorting to an appropriate integral form of the linearized Boltzmann equation. In particular, under the hypothesis of isotropic scattering and of a constant external force, a set of two linear integral equations governing the distributions of the total density and of the total flux vector, respectively, is formulated, and it is then shown how the relevant scattering kernels—in which the contribution of the scattering is separated from the one due to the creation by collision—can be evaluated in general. For a simple physical situation exact solutions are at last presented for both stationary total density and total flux vector as well as for the electrical conductivity. Numerical results are also reported.

Riassunto

Il problema di particelle che diffondono in presenza di un campo conservativo esterno, attraverso una distribuzione casuale di altre particelle, è studiato tramite un'estensiva applicazione della forma integrale dell'equazione di Boltzmann linearizzata. Nel caso di «scattering» e di creazione per collisione isotropi è dedotto un sistema di due equazioni integrali lineari, che definiscono rispettivamente la densità totale ed il flusso vettore totale, delle particelle diffondenti. Soluzioni esatte di tale sistema funzionale sono presentate, insieme con i corrispondenti risultati numerici, per situazioni fisiche semplici di riferimento.

Резюме

Используя соответствующую интегральную форму линеаризованного уравнения Больцмана, исследуется проблема пробных частиц, которые в присутствии внешней консервативной силы диффундируют через случайное распределение полевых частиц. В частности, предполагая изотропное рассеяние и постоянную внешнюю силу, формулируется система двух линейных интегральных уравнений, определяющих распределения соответственно полной плотности и вектора полного потока. Затем показывается, как ядра рассеяния, в которых вклад от рассеяния отделяется от вклада, связанного с рождением в результате соударения, могут быть вычислены в общем случае. Приводятся точные решения для простой физической ситуации для стационарной полной плотности и вектора полного потока, а также для электрической проводимости. Также сообщаются некоторые уисленные результаты.