Quantum theory based on common relativity and fuzzy matrices as operators

Summary

Four-dimensional commutation relations and Hamiltonian dynamics with constraints are discussed. The invariant volume element |b|d³ x/c _o in common relativity is employed to give a meaning to the invariant probability |ψ_I(x ^μ)|² d⁴ x in quantum theory. In fuzzy quantum mechanics, the co-ordinate and the momentum variables are “fuzzy continuous matrices” which can never be diagonalized. They have fuzzy values and fuzzy basic vectors which satisfy a new closure relation. Fuzzy matrices satisfy a new law of matrix multiplication. The values of a fuzzy dynamical variable cannot be experimentally measured with unlimited accuracy. In particular, a physically realizable wave packet must satisfy Δq _min ≈R≠0, whereR is a radical length, which characterizes the fuzziness of space at short distances. The modification of the superposition principle due to the radical lengthR≲10⁻¹⁸ cm is also discussed. The results do not contradict experiments.

Riassunto

Si discutono le relazioni di commutazione quadridimensionale e la dinamica hamiltoniana. L'elemento di volume invariante |b|d³ x/c _o nella relatività commune è impiegata per dare un significato alla probabilità invariante |ψ_I(x ^μ)|² d⁴ x nella teoria quantistica. Nella meccanica quantistica «polverosa» le variabili delle coordinate e dell'impulso sono «matrici continue polverose» che non possono mai essere diagonalizzate. Esse hanno valori polverosi e vettori polverosi di base che soddisfano una nuova relazione di chiusura. Le matrici polverose soddisfano una nuova legge di moltiplicazione delle matrici. I valori di una variabile dinamica polverosa non possono essere misurati sperimentalmente con accuratezza illimitata. In particolare, un pacchetto d'onde fisicamente realizzabile deve soddisfare Δq _min ≈R≠0, doveR è una lunghezza radicale, che caratterizza la polverosità dello spazio e brevi distanze. Si discutono anche le modifiche del principio di sovrapposizione a causa della lunghezza del radicaleR≲10⁻¹⁸ cm. I risultati non sono in contraddizione con gli esperimenti.

Резюме

Обсуждаются четырехмерные коммутационные соотношения и гамильтонова динамика со связями. Инвариаатный в общей теории относительности элемент объема |b|d³ x/c _o используется для получения физического смысла инвариантной вероятности |ψ_I(x ^μ)|² d⁴ x в квантовой теории. В «неопределенной» квантовой механике координаты и импульсы представляют «неопределенные непрерывные матрицы», которые никогда не могут быть диагонализованы. Они имеют «неопределенные» значения и «неопределенные» базисные вектора, которые удовлетворяют новому соотношениу замкнутости. «Неоределенные» матрицы удовлетворяют новому правилу перемножения матриц. Значения «неопределенных» динамических переменных не могут быть экспериментально измерены с неограниченной точностью. В частности, физически реализуемый волновой пакет должен удовлетоврять соотношению Δq _min ≈R≠0, гдеR есть критическая длина, которая характеризует «размытость» пространства на малых расстояниях. Также обсуждается модификация принципа суперпозиции, вследствие критической длиныR≲ 10⁻¹⁸ см. Полученные результаты не противоречат экспериментам.