General expressions for three-centre integrals in crystals

Summary

One-electron three-centre integrals between localized functions appearing in calculations of electronic states are expressed as combinations of integrals involving only the relative distances of centres. The explicit dependence of the coefficients on the relative orientations of centres is given in closed general form. When only two centres remain distinct the previous expressions for two-centre integrals are recovered. The case of a simple cubic lattice is explicitly worked out as an illustrative example.

Riassunto

Si presentano formule che esprimono gli integrali a tre centri monoelettronici, che compaiono nei calcoli degli stati elettronici, come combinazioni di integrali che fanno intervenire solamente le distanze relative tra i centri. Si ricava una forma generale e compatta per i coefficienti che contengono la dipendenza esplicita dall'orien tazione relativa dei centri. Quando solo due centri sono distinti, si riottengono le expressioni già note per gli integrali a due centri. Si esamina in dettaglio l'esempio significativo del reticolo cubico semplice.

Резюме

Одноэлектронные трех-центробые интегралы между локализованными функциями, появляющиеся при вычислениях электронных состояний, выражаются в виде комбинаций интегралов, включающих только относительные расстояния от центров. В замкнутой общей форме приводится явная зависимость коэффициентов от относительной ориентации центров. Когда остаются только два несовпадающих центра, полученные результаты совпадают с предыдущими выражениями для двухцентровых интегралов (Слетер и Костер; Андреони и Касула). Как иллюстраивный пример в явном виде исследуется случай простой кубической решетки.