Stochastic space-time

Summary

The basic theory of the space-time continuum considered a 4-dimensional manifold of random variables for each Lorentz observer (co-ordinate frame) Λ is developed from first principles. No assumption about the actual co-ordinate measurement process is needed except that, whatever its details, it be describable in terms of random variable theory. The «fundamental length» λ, which gives a limit in principle to the fineness with which space-time points can be resolved, enters physical theory via the dispersion ∝ λ² of the space-time random variable. The main content of the theory comes from the great restrictive power of a symmetry group. Examples of this power are the theorem that there exist no form-invariant (equivalently: mean fields andS operator independent of ℒ) stochastic space-times, and the theorem that if time is measured in terms of space with the aid of light signals (the Einsteinian prescription), the co-ordinate frequency function is uniquely fixed as a 3-dimensional Gaussian.

Riassunto

Partendo da principi fondamentali si sviluppa la teoria del continuo spazio-temporale considerato una molteplicità a quattro dimensioni di variabili casuali per ogni osservatore lorentziano (sistema di coordinate) ℒ. Non è necessaria alcuna ipotesi sull’effettivo procedimento di misura delle coordinate eccetto che, qualunque ne siano i dettagli, esso sia descrivibile in base alla teoria delle variabili casuali. La «lunghezza fondamentale» λ, che pone in linea di principio un limite alla finezza con cui si possono risolvere i punti spazio-temporali, entra nella teoria fisica tramite la dispersione ∝ λ² della variabile casuale spazio-temporale. Il significato principale della teoria proviene dal grande potere limitativo di un gruppo di simmetria. Esempi di questo potere sono il teorema secondo il quale non esistono spazio-tempi stocastici invarianti di forma (equivalentemente: campi medi ed operatoriS indipendenti da ℒ), ed il teorema secondo il quale, se il tempo è misurato in termini di spazio per mezzo di segnali luminosi (secondo la regola di Einstein) la funzione di frequenza delle coordinate è fissata unicamente come una gaussiana tridimensionale.