Covariant harmonic oscillator with half-integer spin

Summary

A pseudoclassical model describing a covariant harmonic oscillator with half-integer spin is studied. The model is obtained by applying the idea of the supersymmetric invariance to extend the harmonic-oscillator classical Lagrangian of Kalb and Van Alstine to the case of Grassmann variables. The wave equation appears as a linearization of that of the harmonic oscillator as much as for the case of the Dirac equation and the Klein-Gordon equation. The model is, in some sense, the analogous of that of Ramond for the spinning string in the case of two constituents. The mass spectrum is given by a set of linearly rising trajectories. The problem of the relativistic invariance in the quantum case is studied.

Riassunto

Si studia un modello pseudoclassico che descrive un oscillatore armonico covariante con spin semiintero. Il modello è ottenuto applicando l’idea dell’invarianza per super-simmetria per estendere al caso di variabili di Grassmann la lagrangiana classica di Kalb e Van Alstine. L’equazione d’onda che ne risulta è una linearizzaziono di quella dell’oscillatore armonico covariante in modo analogo all’equazione di Dirac nei confronti di quella di Klein-Gordon. Il modello è, in un certo senso, l’analogo del modello di Ramond per la corda vibrante relativistica con spin nel caso di due soli costituenti. Lo spettro di massa è dato da una famiglia di traiettorie lineari. Inoltre si studia il problema dell’invarianza relativistica nel caso quantistico.

Реэюме

Исследуется псевдоклассическая модель, описываюшая ковариантный гармонический осциллятор с полуцелым спином. Предложенная модель получается в реэультате применения идеи суперсимметричной инвариантности, чтобы распространить классический Лагранжиан гармонического осциллятора Колба и Ван Алстина на случай переменных Грассмана. Волновое уравнение воэникает при линеариэации уравнения для гармонического осциллятора, также как для случая уравнения Дирака и уравнения Клейна-Гордона. Предложенная модель, в некотором смысле, аналогична модели Рамонда для врашаюшейся струны в случае двух составляюших. Массовый спектр определяется системой линейно воэрастаюших траекторий. Исследуется проблема релятивистской инвариантности в квантовом случае.