Equal-time commutators and bjorken’s theorem: General results, and applications to some field-theoretical models

Summary

Two different definitions of the equal-time commutator matrix elements are considered. One analyses the equivalence conditions for the definitions, and one derives an infinite-energy sum rule. The general results are considered for the Lee model: first, the model with a cut-offΛ is examined; next, the limitΛ → ∞ is taken (point-source Lee model), and an answer is given to questions related to the meaning of various limit procedures. The directly renormalized version of the point-source Lee model is then analysed in the same context: the results are different, for reasons which are examined. Finally, the zero-energy value of a function relevant for the whole theory is studied.

Riassunto

Nel presente lavoro si prendono in considerazione due diverse definizioni degli elementi di matrice dei commutatori a tempi uguali. Si analizzano le condizioni di equivalenza per tali definizioni, e si deduce una regola di somma per energia infinita. I risultati generali vengono poi esaminati per il modello di Lee, anzitutto per il modello con un taglioΛ; successivamente, eseguendo il limiteΛ → ∞ (modello di Lee a sorgente puntiforme), si riesce a dare una risposta a questioni recentemente poste circa il significato di differenti procedure di passaggi al limite. Nello stesso quadro, si considera anche la versione direttamente rinormalizzata del modello di Lee a sorgente puntiforme: i risultati sono diversi, per ragioni che vengono studiate. Infine, si discute il valore a energia zero di una funzione che compare in modo significativo nell’intera trattazione.

Реэюме

Рассматриваются два раэличных определения матричных злементов равновременных коммутаторов. Аналиэируются условия зквивалентности определений и выводится правило сумм при бесконечной знергии. Рассматриваются обшие реэультаты для модели Ли. Сначала исследуется модель с обреэанием Λ; эатем рассматривается предел Л → ∞ (модель Ли с точечным источником) и приводится ответ на вопросы, свяэанные со эначением раэличных предельных процедур. Затем в том же смысле аналиэируется непосредственно перенормированный вариант модели Ли с точечным источником. Полученные реэультаты раэличаются по причинам, которые исследуются. Наконец, иэучается нулевое эначение знергии для функции, относяшейся ко всей теории.