Four-dimensional symmetry from a broad viewpoint

I think one can make a safe guess that uncertainty relations in their present form will not survive in the physics of the future. Of course, there will not be a return to the determinism of classical physical theory. Evolution does not go backward. It will have to go forward. There will have to be some new development that is quite unexpected, that we cannot make a guess about, which will take us still further from classical idea…

Summary

Four-dimensional symmetry (from a broad viewpoint) actually allows for a new principle of universal probability, which dictates the distribution of quantized oscillators of all free fields, so that one can overcome divergence difficulties without upsetting unitarity. In order to gain a new perspective, we trace the origin of this principle in quantum mechanics. We find that it is related to the existence of a radical lengthR and the impossibility of measuring particle positions with unlimited accuracy. We formulate «R-inherent quantum mechanics» which incorporates these ideas. We derive a newR-inherent uncertainty relation which, in addition to the usual restriction, also implies that the ultimate position accuracy is Δq _ult≈R rather than Δq _ult=0. It indicates a further departure from the classical physics. Thep andq representations are connected by a new transform which reduces to the Fourier transform asR→0. The usual Hilbert space with symmetry betweenp andq representations is no longer adequate to be the mathematical foundation. It has to be the generalized to a «R-inherent Hilbert space» whose co-ordinates, in terms of the momentum wave functions, appear to be «curved» with the universal probability function as the «metric». In the «q-representation» we have the usual momentum−iJ∂/∂q and co-ordinateq. However, in thep-representation, we have the momentump and the co-ordinateq -iJ∂/∂q-iR p/2(p ²+m ²)^1/2. This indicates a violation of theq-q symmetry. The theory indicates that a particle can never be confined in a volume much smaller than 4πR ³/3 and that matter cannot be squeezed into a singularity in space with infinite mass density by any force.

Riassunto

La simmetria quadridimensionale (da un punto di vista ampio) effeettivamente consente un nuovo principio di probabilità universale che detta la distribuzione di oscillatori quantizzati di tutti i campi liberi, cosicché si possono superare le difficoltà di divergenza senza disturbare l’unitarietà. Allo scopo di ottenere una nuova prospettiva, si ricerca l’origine di questo principio nella meccanica quantistica. Si trova che è collegato all’esistenza di una lunghezza radicaleR e all’impossibilità di misurare le posizioni di particelle con accuratezza illimitata. Si formula la meccanica quantisticaR-inerente, che incorpora queste idee. Si deriva una nuova relazione d’indeterminazioneR-inerente che, in aggiunta alla solita restrizione, implica anche che l’accuratezza finale della posizione è Δq _ult≈R piuttosto che Δq _ult=0. Ciò indica un ulteriore allontanamento dalla fisica classica. Le rappresentazionip eq sono collegate da una nuova trasformata che riduce la trasformata di Fourier perR→0. Lo spazio usuale di Hilbert simmetrico rispetto alle rappresentazionip eq non è piú adeguato come fondamento matematico. Deve essere generalizzato ad uno «spazio di HilbertR-inerente» le cui coordinate, in termini delle funzioni d’onda dell’impulso, appaiono «curve» con la funzione di probabilità universale come «metrica». Nella «rappresentazioneq» si ha l’impulso usuale −iJ∂/∂q e la coordinataq. Comunque nella rappresentazionep si hanno l’impulsop e la coordinataq=iJ∂/∂p−iR p/2(p ²+m ²)^1/2. Ciò indica una violazione della simmetriap-q. La teoria indica che una particella non può mai essere confinata in un volume molto minore di 4πR ³/3 e che la materia non può essere schiacciata da nessuna forza in una singolarità in uno spazio con densità di massa infinita.

Резюме

Четырехмерная симметрия (с общей точки зрения) учитывает новый принцип универсальной вероятности, который предписывает распределение квантованных осцилляторов всех свободных полей, так что можно обойти трудности, связанные с расходимостями, без нарушения унитарности. Мы прослеживаем происхождение этого принципа в квантовой механике. Мы находим, что этот принцип связан с существованием фундаментальной длиныR и невозможностью измерения положения частицы с неограниченной точностью. Мы формулируем «R-собственную квантовую механику», которая объединяет указанные идеи. Мы выводим новое «R-собственное» соотношение неопределенностей, которое, помимо обычного ограничения, также подразумевает, что предельная точность измерения положения равна Δq _пред≈R, а не Δq _пред=0. Это соотношение определяет дополнительное отклонение от классической физики.p- иq-представления связаны новым преобразованием, которое сводится к Фурье-преобразованию приR→0. Обычное Гильбертово пространство уже не является адекватным для математической основы. Оно обобщается в «R-собственное Гильбертово пространство», которое аналогично векторам в Римановом пространстве, а не в Эвклидовом пространстве. В «q-представлении» мы получаем обычный импульс−iJ(∂/∂q) и координатуq. Однако вp-представлении, мы имеем импульсp и координату $q = iJ(\partial /\partial p)---iRp/2\sqrt {p^2 - m^2 }$. Это указывает на нарушениеp-q симметрии. Теория показывает, что частица никогда не может быть заключена в объем, меньший 4πR ³/3, и что вещество не может быть сжато в сингулярность в пространстве с бесконечной плотностью массы, с помощью любой силы.