On Balescu’s generalized kinetic equation

Summary

We show that the generalized kinetic equation derived by Balescu is equivalent to the Zwanzig asymptotic equation deduced by means of Bogoliubov’s boundary conditions and the five assumptions of Balescu are reducible to one assumption on an operator whose formal expression is known. We also show that this generalized kinetic equation has the structure of a generalized Boltzmann equation in the sense that the collision term is a sum of collisions operators of two, three, etc. particles. As a confirmation we derive the Boltzmann equation from this generalized kinetic equation.

Riassunto

Si dimostra che l’equazione cinetica generalizzata dedotta da Balescu è equivalente all’equazione asintotica di Zwanzig dedotta per mezzo delle condizioni al contorno di Bogoliubov e che le cinque ipotesi di Balescu sono riducibili ad una sola ipotesi su un operatore la cui espressione formale è nota. Si dimostra anche che questa equazione cinetica generalizzata ha la struttura di un’equazione di Boltzmann generalizzata nel senso che il termine di collisione è la somma degli operatori di collisione di due, tre, ecc. particelle. A conferma si deduce l’equazione di Boltzmann da questa equazione cinetica generalizzata.

Резюме

Мы показываем, что обобщенное линейное уравнение, выведенное Балеску эквивалентно асимптотическому уравнению Цванцига, выведенному с помощью граничных условий Боголюбова. Кроме того, показывается, что пять предположений Балеску могут быть сведены к одному предположению относительно оператора, выражение которого известно. Мы также показываем, что это обобщенное кинетическое уравнение имеет структуру обобщенного уравнения Больцмана в том смысле, что столкновительный член представляет сумму операторов столкновения двух, трех и т.д. частиц. Для подтверждения этого мы выводим уравнение Больцмана из этого обобщенного кинетического уравнения.