Quantum theory of nonconservative systems

Summary

We present here in a systematic way a reformulation and a generalization of a quantum theory of nonconservative (dissipative and antidissipative) systems already outlined by us many years ago. In particular, following a procedure first introduced by Levi Civita we give a detailed formulation of the corresponding classical Lagrangian and Hamiltonian treatments and consequently we show that quantum nonconservative systems can be equivalently described by the Schrödinger or Heisenberg picture. Furthermore, a detailed discussion of uncertainty rules for nonconservative systems is developed. By means of such a formulation it is possible to overcome easily criticisms raised against the so-called Caldirola-Kanai equation. Finally the connection between the Schrödinger equation for nonservative systems and the master equation is shortly discussed and some new possible developments of the theory are suggested.

Riassunto

Si presenta in modo sistematico una formulazione opportunamente generalizzata di una teoria quantistica dei sistemi non conservativi (dissipativi e antidissipativi) già proposta dall’autore parecchi anni fa. In particolare, seguendo un procedimento dovuto a Levi Civita, si dà una formulazione lagrangiana e hamiltoniana classica per poi dimostrare come i sistemi quantistici non conservativi possano essere trattati sia nella descrizione di Schrödinger che in quella di Heisenberg. Si discutono in particolare le conseguenti regole d’indeterminazione. Basandosi sulla predetta formulazione si mostra come alcune critiche avanzate alla cosiddetta equazione di Caldirola-Kanai possano essere facilmente superate. Infine si richiama brevemente la relazione fra l’equazione di Schrödinger dei sistemi non conservativi e la «master equation» e si suggeriscono possibili nuovi sviluppi della teoria.

Резюме

Предлагается новая формулировка и обобщение лвантовой теории неконсервативных (диссипатиных) и антидиссипативных) систем, котовые уже рассматривались автором. В частности, следуя процедуре, впервые предложенной Леви Чивита, мы формулируем классические Лагранжев и Гамильтонов формализмы и показываем, что квантовые неконсервативные системы могут быть эквивалентно описаны в представлении Шредингера или Гайзенберга. Подробно обсуждаются правила неопреленности для неконервативных систем. С помощью этого подхода можно легко обойти критику так называемого уравнения Калдиролы-Каная. Обсуждается связь между уравнением Шредингера для неконсервативных систем и «задающим уравнением». Предлагаются некоторые нобые аспекты развития теории.