Density-matrix methods and time dependence of order parameter in superconductors

Summary

The density-matrix equations for a superconductor are used to obtain corrections to the order parameter by means of a time-dependent perturbation technique. In particular, under certain restrictions a time-dependent differential equation for the order parameter in pure and dirty superconductors near the critical temperature is derived. Compared with the various equations obtained by the Green’s function method, our equation is similar to those showing a diffusive character. AboveT _cfluctuations of the order parameter relax according to the same equation. The density cannot be written in a simple differential form; however an explicit expression for the time derivative of the density is given. From this we are able to show that within the scheme of the approximation used, the continuity equation is satisfied. The diffusion term, together with the derivative of the density with respect to time are shown to vanish whenever Josephson’s equation is satisfied. Time-dependent perturbative solutions of the Hartree-Bogoliubov equations are given at any temperature and for any order in the pair potential. The first-order term is explicitly calculated.

Riassunto

Il metodo Hartree-Bogoliubov nella formulazione matriciale di Valatin è utilizzato per ottenere correzioni al parametro d’ordine mediante una tecnica perturbativa dipendente dal tempo. In particolare, salve certe restrizioni, vicino alla temperatura critica si ottiene un’equazione differenziale che regola l’andamento temporale del parametro d’ordine dei superconduttori in assenza ed in presenza di impurità. Tra le varie equazioni ottenute con il metodo delle funzioni di Green, la nostra equazione è simile a quelle che presentano un carattere diffusivo. Al di sopra del punto critico la stessa equazione regola il rilassamento a zero delle fluttuazioni del parametro d’ordine. Anche la corrente è espressa in forma differenziale, mentre per la densità sorgono delle difficoltà che sono superate considerando la sua derivata rispetto al tempo. Si è stati quindi in grado di mostrare che, nell’ambito delle approssimazioni fatte, l’equazione di continuità è soddisfatta. Il termine diffusivo nell’equazione per il parametro d’ordine e la derivata della densità rispetto al tempo si annullano quando l’equazione di Josephson è soddisfatta. Soluzioni perturbative dipendenti dal tempo delle equazioni di Hartree-Bogolubov vengono date per qualunque temperatura e ad ogni ordine nel potenziale di coppie. Il termine al primo ordine è calcolato esplicitamente.

Реэюме

Испольэуются уравнения матрицы плотности для сверхпроводника для получения поправок к параметру порядка посредством теории воэмушений, эависяшей от времени. В частности, выводится дифференциальное уравнение, эависяшее от времени для параметра порядка в чистом и гряэном сверхпроводниках вблиэи критической температуры. При сравнении с раэличными уравнениями, полученными с помошью метода функций Грина, наще уравнение окаэывается подобным уравнениям, обнаруживаюшим диффуэионный характер. ВыщеT _cфлуктуации параметра порядка релаксируют согласно тому же уравнению. Плотность не может быть эаписана в простой дифференциальой форме; однако, приводится точное выражение для временной проиэводной плотности. Иэ зтого мы можем покаэать, что в рамках испольэованного приближения уравнение непрерывности удовлетворятся. Отмечается, что диффуэионный член вместе с промэводной плотности по времени обрашается в нуль, когда удовлетворяется уравнение Джоэефсона. Приводятся рещения теории воэмушений, эависяшей от времени для уравнений Хартри-Боголюбова при любой температуре и для любого порядка по парному потенциалу. Точно вычисляется член первого порядка.