Résumé
SoitM une variété riemannienne complète, simplement connexe et de courbure négative pincée. On montre que, pour une fonction harmonique surM, les notions non-tangentielles de convergence, de bornitude et de finitude de l'énergie sont équivalentes en presque tout point du bord géométrique. Ce résultat est un analogue «géométrique» d'un théorème de A. P. Calderón et E. M. Stein dans le demi-espace euclidien. La démonstration, inspirée de la méthode de J. Brossard dans le cas euclidien, utilise le mouvement brownien.
Abstract
LetM be a complete simply connected Riemannian manifold whose sectional curvatures are bounded between two negative constants. It is shown that, for a given harmonic function onM, non-tangential properties of convergence, boundedness and finiteness of energy are equivalent for almost every point of the geometric boundary. This is a “geometric” analogue of Calderón-Stein theorem in the euclidean half-space. The proof is using Brownian motion, like J. Brossard's one for the euclidean case.
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Mouton, F. Comportement asymptotique des fonctions harmoniques en courbure négative. Commentarii Mathematici Helvetici 70, 475–505 (1995). https://doi.org/10.1007/BF02566019
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02566019