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Über dieW-Kurven im dreidimensionalen Raume

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Acta Mathematica

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  1. Diese Publikationen findet man in Paris C. R. 70 (1870) und Math. Ann. 4 (1871).

  2. Man findet vielfache Litteraturnachweise überW-Kurven in zwei Artikeln in der Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften, in denen auch auf die Eigenschaften derW-Kurven eingegangen wird, und zwar beiG. Scheffers “Besondere transcendente Kurven” (III D 4), Nr. 13-20 und 35, sowieK. Rohn undL. Berzolari, “Algebraische Raumkurven und abwickelbare Flächen” (III C 9), Nr. 58.

  3. Man sehe das soeben zitierte Referat vonScheffers, Nr. 20.

  4. Für den allgemeinen Fall eines Raumes von beliebig vielen Dimensionen hatMohrmann die algebraischenW.-Kurven bestimmt. Man sehe seine Arbeit, “Bestimmung aller algebraischen W-Kurven”, Math. Ann. 89 (1923), p. 260–271.

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  5. Man vergleiche unsere Arbeit “Über eine Verallgemeinerung der algebraischen Gleichungen”, Math. Ann. 108 (1933), p. 111.

    Google Scholar 

  6. “Über die algebraischen W-Kurven im r-dimensionalen Raum”, Rend. Circ. Mat. 47 (1923), p. 153–181.

  7. l. c. “Über die algebraischen W-Kurven im r-dimensionalen Raum”, Rend. Circ. Mat. 47 (1923) p. 165.

  8. “On certain unicursal twisted curves”, American Journal 28 (1906), p. 237–242.

  9. Dasselbe Resultat erhält man, wenn man die Bedingung dafür sucht, dass in (13) der Faktor (t−kt 1)(kt−t 1) doppelt auftritt.

  10. Die Lösungenl undl −1 bezeichnen eben die Werte, welchek undk −1 annehmen würden, wenn die fragliche Doppelkurve als Grundkurve angenommen wird. Man sieht dies ein, wenn man die Operation der eingliedrigen Gruppe in Betracht zieht, durch welche man von der einen zur anderen Erzeugenden übergeht, die in einem Punkte der Doppelkurve zusammenstossen.

  11. Wenn das erste Glied mit dem Zeichen—anfängt, denken wir uns sämtliche Zeichen umgeändert.

  12. Wie unten im Falle 3 hervorgehoben wird, fallen diesea-Werte, abgesehen vona=n 2/n 1 unda=1, paarweise zusammen.

  13. Beide Systeme von Kurven, welche einer solchen Kongruenz angehören, sindW-Kurven.

  14. In anderen Fällen kann die Schmiegungsebene dieW-Fläche in einem vom Ausgangspunkte verschiedenen Punkte berühren.

  15. Man sehe seine Arbeit “Theorie des figures projectives sur une surface du second ordre”, Math. Ann. 26 (1886), p. 247–274. Man vergleiche auchR. Sturm, “Die Gebilde ersten und zweiten Grades der Liniengeometrie in synthetischer Behandlung” II (1892), p. 208–213.

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  16. Weber-Festschrift” (Leipzig, 1912), p. 283.

  17. Man beachte hier, dass, da man für die verallgemeinertenW-Kurven die Hälften fürt>0 undt<0 in drei verschiedenen Weisen zusammenpaaren kann, für dieselbeHirstsche Kongruenz die abwickelbaren Flächen zu einer beliebigen der Klassen (A1), (A2) oder (A3) gehören können.

  18. “Liniengeometrie” II, p. 194. Doch gibt es, wie wir später gefunden haben, in “Liniengeometrie” III, p. 312 eine Berichtigung der obigen Aussage.

  19. C. Rodenberg “Zur Classification der Flächen dritter Ordnung”, Math. Ann. 14, (1879), p. 60, 65.

    Google Scholar 

  20. “Die verschiedenen Gestalten der Kummer schen Fläche”, Math. Ann. 18 (1881), p. 120.

  21. Man sehe ausser der bereits zitierten Arbeit (Math. Ann. 26) “Lehrbuch der abzählenden Methoden der Geometrie” (1914), p. 268.

  22. In einem speziellen Falle rücken die beiden Berührungspunkte zusammen, so dass man vier uf einander folgende gemeinsame Punkte erhält. Noch spezieller ist der Fall, wo der Kegelschnitt durch die Spitze des Kegels geht, dortselbst eine Erzeugende berührt und dabei in der Berührungsebene des Kegels liegt.

  23. Sturm, “Liniengeometrie” II, p. 335.

  24. Eine Ebene berührt also nureine Fläche des Büschels.

  25. Wenn wir weiterhin in dieser Arbeit vonW-Flächen sprechen, so meinen wir Flächen von einem der hier angegebenen Typen, doch gelegentlich mit Erweiterung auf transzendente Fälle.

  26. Vermutlich existiert mit Ausnahme der Fläche (871) bei ungeradenp keine reelle Fläche von ungerader Ordnung, die keine hyperbolische Punkte enthält.

  27. Eine allgemeine Antwort auf die obige zahlentheoretische Frage wollen wir bei einer anderen Gelegenheit geben. Dieselbe gründet sich auf die Relation (100).

  28. Betreffs der Kurven der tetraedralen Komplexe sehe manLie, “Geometrie der Berührungs-transformationen” (1896), p. 326.

  29. A. Voss, Math. Ann. 13 (1878), p. 237;R. Sturm, Math. Ann. 26 (1887), p. 272 und “Liniengeometrie” I (1892, p. 361)E. Heinrichs, Diss, Münster 1887.

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  30. Wir haben oben eine vielleicht etwas neue Beleuchtung von bereits bekannten Tatsachen zu geben versucht. Man vergleicheSturm, “Liniengeometrie” I, p. 367.

  31. Wir denken uns also hierp, r unds als ganze teilerfremde rationale Zahlen.

  32. Nach Nr. 40 können wir in diesem reellen Falle die Exponentenr unds auch durch zwei konjugiert imaginäre Grössen ersetzen. Man erhält aber dannW-Flächen, welche sich unendlich oft um die Axey=z=0 windeln, so dass dieselben bereits in ihrem reellen Verlauf von den algebraischen Flächen abweichen.

  33. Zwei von diesen drei zusammenfallenden Lösungen sind mithin als reelle Lösungen neu hinzugekommen.

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  1. Upsala

    A. Wiman

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  1. A. Wiman
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Wiman, A. Über dieW-Kurven im dreidimensionalen Raume. Acta Math. 64, 243–352 (1935). https://doi.org/10.1007/BF02545672

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