Ultrasonic attenuation in insulating crystals

Abstract

A theory for the dampingΓ of ultrasonic waves due to three-phonon processes is developed by using a Green's function method. The imaginary part of the self-energy of the impressed ultrasound phonons interacting with thermal phonons is calculated. In the limits ofω τ very large and very small the known results are rederived, whereω is the frequency of the ultrasonic wave andτ the thermal phonon relaxation time. The intermediate range ofω τ values is discussed in detail for the case of longitudinal phonon attenuation. It is found, that forω τ>1 a Landau-Rumer type law applies also for longitudinal phonons,Γ∼ωT ⁴. But it is shown that dispersion effects and large third-order elastic anisotropy can lead to a stronger temperature dependence thanT ⁴ and a weaker dependence on frequency thanω. These results are compared with recent experiments.

Résumé

Une théorie de l'atténuation ultrasonoreΓ par des processus à trois phonons a été developpée par une méthode de fonctions de Green. On calcule la partie imaginaire de l'énergie propre des phonons de l'onde ultrasonore incidente, compte tenu de leur interaction avec les phonons thermiques. Pourω τ très grand ou très petit on retrouve les résultats connus, oùω est la fréquence des phonons incidents etτ le temps de relaxation des phonons thermiques. Le domaine desω τ intermédiaires est discuté en détail pour l'atténuation de phonons longitudinaux; on trouve pour ces phonons, lorsqueω τ>1, qu'une loi du genre de Landau-Rumer est applicable, c. à d.Γ∼ω T ⁴. On démontre, cependent, que les effets de dispersion et une importante anisotropie élastique du troisième ordre peuvent conduire à une dépendance de la température plus rapide queT ⁴ et à une variation plus faible que linéaire avec la fréquenceω. Ces résultats sont comparés avec des travaux expérimentaux récents.

Zusammenfassung

Eine Theorie für die DämpfungΓ von Ultraschallwellen auf Grund von Dreiphononen-Prozessen wird mit Hilfe Greenscher Funktionen formuliert. Der Imaginärteil der Selbstenergie der eingeprägten Ultraschallphononen, die mit dem System der thermischen Phononen in Wechselwirkung stehen, wird berechnet. In den Grenzfällen sehr großer und sehr kleiner Werte vonω τ werden die bekannten Ergebnisse neu hergeleitet (ω Frequenz der Ultraschallwelle;τ Relaxationszeit thermischer Phononen). Das Zwischengebiet derω τ-Werte wird für den Fall der Dämpfung longitudinaler Phononen eingehend diskutiert. Dabei ergibt sich, daß fürω τ>1 auch für longitudinale Phononen ein Landau-Rumer-Gesetz gilt,Γ∼ω T ⁴. Aber es wird gezeigt, daß Dispersionseffekte und große elastische Anisotropie in dritter Ordnung zu einer stärkeren Temperaturabhängigkeit alsT ⁴ und zu einer schwächeren Abhängigkeit von der Frequenz alsω führen können. Diese Ergebnisse werden mit neueren Experimenten verglichen.