Annali di Matematica Pura ed Applicata

, Volume 25, Issue 1, pp 67–109 | Cite as

Premesse topologiche allo studio dei fasci rèali di curve algebriche sopra una superficie algebrica reale

  • Luigi Brusotti
Article

Sunto

Si costruisce una teoria topologica dei fasci di curve grafiche sopra una superficie, in vista delle applicazioni che essa può trovare nello studio dei fasci reali di curve algebriche sopra una superficie algebrica reale, di tali applicazioni facendo pur breve cenno

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

Literatur

  1. (1)a).
    L. Brusotti,Discriminanti e fasci nella topologia proiettiva del piano [Rend. R. Ist. Lomb., (2), 51 (1918). pag. 367–373];MATHGoogle Scholar
  2. (1)b).
    Esistono fasci di curve piane d'ordine na punti-base e centri critici tutti reali [Ibid., pag. 612–618];MATHGoogle Scholar
  3. (3)a).
    c) Sui fasci di curve grafiche (lit.) [Succ. Bruni, Pavia 1919, pag. 1–204];Google Scholar
  4. (1)d).
    Un teorema sui fasci reali di curve algebriche [Rend. R. Acc. Lincei, (5), 28 (1919), pag. 251–253];MATHGoogle Scholar
  5. (1)e).
    Sulle curve piane algebriche reali prive di punti reali [Ibid., pag. 322–324];MATHGoogle Scholar
  6. (1)f).
    Sopra un notevole fascio reale di cubiche piane [Rend. R. Ist. Lomb., (2), 53 (1920), pag. 188–192];MATHGoogle Scholar
  7. (1)g).
    Sui centri critici di un fascio reale di curve piane algebriche [Atti R. Ist. Veneto, 80 (1920–21), P. 2a, pag. 791–820];Google Scholar
  8. (1)h).
    Sui fasci reali di cubiche piane dotati di un solo punto-base reale [Note e Memorie di Matematica (Catania), 1 (1921), pag. 242–244]. Sui fasci reali di cubiche piane sono pure da ricordarsi:J. E. Wright,Nodal cubics trough eight given points [Proc. London Math. Soc., (2), 6 (1908), pag. 52–57];H. Mohrmann,Ueber das Büschel von ebenen Kurven 3.Ordnung mit neun reellen Grundpunkte [Math. Aun., 74 (1913), pag. 319–340].MATHGoogle Scholar
  9. (2).
    L. Brusotti,Fasci reali di curve algebriche sopra una quadrica reale [Rend. R. Ist. Lomb., (2), 72 (Scienze, 1938–39), pag. 3–9].MathSciNetGoogle Scholar
  10. (3).
    A. Cayley,On Contour and slope Lines [Philosophical Magazine, (4), 18 (1859), pag. 264–268, oppureCollected Mathematical Papers, 4 (Cambridge 1891), pag. 108–111];J. C. Maxwell,On Hilles and Dales [Philosophical Magazine, (4), 40 (1870), pag. 421–427, oppureScientific Papers, 2 (Cambridge 1890), pag. 233–240]. A questi possono raccostarsi i lavori diJ. C. Barré de Saint Venant, diJ. Boussinesq, diC. Jordan, e diC. Somigliana, Cfr., anche per citazioni,C. Somigliana,Sur une classification des maxima et minima des fonctions de plusieurs variables [Annales École Norm. Sup., (3), 31 (1914), pag. 87–97, oppureMemorie scelte (Torino 1936) pag. 395–406]; e, per ulteriori indicazioni,A. Comessatti,Geometria descrittiva ed applicazioni, inL. Berzolari, G. Vivanti eD. Gigli,Enciclopedia delle Matematiche elementari, 22 (Milano, 1938), pag. 307–375, a pag. 363.Google Scholar
  11. (4).
    H. Poincaré,Mémoire sur les courbes définies par une équation différentielle [Journal de Mathématiques, (3), 7 (1881), pag. 375–442, specialmente pag. 394–409, oppureOeuvres, 1 (Paris 1928), pag. 3–84, specialmente pag. 20–33];Sur les courbes définies par une équation différentielle [Journal de Mathématiques, (4). 1 (1885), pag. 167–244, specialmente pag. 203–208, oppureOeuvres, 1 (Paris 1928), pag. 90–158, specialmente pag. 121–125]. Sull'argomento cfr. pure le comunicazioni nei Comptes rendus de l'Académie des Sciences, 90 (1880), pag. 673–675; 98 (1884), pag. 287–289 [oppureOeuvres, 1, pag. 1–2; pag. 87–89].MATHGoogle Scholar
  12. (5).
    W. Dyck,Beiträge zur Analysis situs, I Aufsatz, Ein - und zweidimensionale Mannigfaltigkeiten [Math. Ann., 32 (1888), pag. 457–512, specialmente pag. 501, form. (26)];II Aufsatz, Mannigfaltigkeiten von n Dimensionen [Math. Ann., 37 (1890), pag. 273–316].CrossRefMATHMathSciNetGoogle Scholar
  13. (6).
    L. Kronecker.Ueber Systeme von Functionen meherer Variabeln [Monatsberichte der K. Preussische Akademie der Wissenschaften, 1869, pag. 159–193, pag. 688–698, oppureWerke, 1 (Leipzig 1895), pag. 175–212, pag. 213–226;Ueber die verschiedenen Sturm'schen Reihen und ihre gegenseitigen Beziehungen [Monatsberichte (cit), 1873, pag. 117–154, oppureWerke, 1 (cit) pag. 303–348];Ueber Sturm'sche Functionen [Monatsberichte (cit), 1878, pag. 95–121, oppureWerke, 2 (Leipzig 1897), pag. 37–70];Ueber die Charateristik von Function-Systemen [Monatsberichte (cit), 1878, pag. 145–152, oppureWerke, 2 (cit), pag. 71–82].Google Scholar
  14. (7).
    Vedansi perciò:M. Morse,The calculus of variations in the large (New York 1934), specialmente pag. 142–191;H. Seifert undW. Threlfall,Variationsrechnung im Grossen (Leipzig und Berlin 1938), specialmente pag. 21–28; ed i lavori diA. B. Brown, H. Hope, F. John, T. H. Kiang, M. Morse, D. E. Richmond, W. M. Whyburn, ..., citati nella bibliografia annessa al trattato diM. Morse (pag. 359–366).Google Scholar
  15. (9).
    « Singramma » è qui introdotto come equivalente italiano diStreckencomplex oGraph degli autori tedeschi, digraph degli anglosassoni, diréseau dei francesi. Per le proprietà più elementari dei singrammi cfr.M. Dehn undP. Heegaard,Analysis situs, inEncyclopädie der Mathematischen Wissenschaften, 31, pag. 153–220, specialmente pag. 171–178. Per un'esposizione più larga cfr.D. König,Theorie der endlichen und unendlichen Graphen (Leipzig 1936). Qui tacitamente si suppone che vertici e spigoli del singramma siano in numero finito.Google Scholar
  16. (11).
    La denominazione « centro critico » introdotta nel caso algebrico daA. Cayley, è stata da me usata in senso topologico. Cfr.A. Cayley,On the theorie of involution [Trans. Cambridge Phil. Soc., 11, P. 1 (1886), pag. 21–38; oppureCollected Mathematical Papers, 5 (Cambridge 1892), pag. 295–312];L. Brusotti, (1),c), pag, 71.Google Scholar
  17. (12).
    PerZ=1, cioè per il caso del « piano proiettivo », cfr.L. Brusotti, (1),c), p. 90.Google Scholar
  18. (13).
    Cfr.D. König, (9), p. 21.Google Scholar
  19. (15).
    Nel casoZ=1 (piano proiettivo) le (14) (15) (16) riduconsi a formule già stabilite inL. Brusotti, (1),c), pag. 164–165.Google Scholar
  20. (16).
    Cfr.A. Comessatti.Sulla connessione delle superficie razionali reali [Annali di Matematica (3), 23 (1914), pag. 215–283, a pag. 238].Google Scholar
  21. (17).
    Cfr. p. es.A. Comessatti,Sui circuiti dispari delle curve algebriche reali tracciate sopra superficie razionali [Boll. Unione mat. italiana, (1), 12 (1933), pag. 289–293].MATHGoogle Scholar
  22. (20).
    Per il caso del piano proiettivo cfr.L. Brusotti (1c), pag. 52, pag. 57; (1)e), pag. 322.Google Scholar
  23. (21).
    La locuzione « orientamento del singramma » e le analoghe sono qui usate in senso più lato di quello consueto, nel quale il singramma, potendo possedere vertici d'ordine dispari, risulta di regola [cfr.D. König, (9), pag. 29] « non orientabile », non suscettibile cioè di essere «continuirlich gerichtet ».Google Scholar
  24. (22).
    Cfr. (43) di num. 9 e form. (18) di num. 17.Google Scholar
  25. (23).
    Riferimenti inM. Dehn undP. Heegaard (9), pag. 173, ed inD. König (9), pag. 22.Google Scholar
  26. (24).
    Per il piano proiettivo e per rette cfr.L. Brusotti, (4),b) pag. 615. Ma la pro, prietà subito si estende al caso generale.Google Scholar
  27. (25).
    Trattasi del criterio seguito per circuiti dotati di nodi nella costruzione degli «schemi diGauss»; cfr.C. F. Gauss,Werke, 8 (Leipzig 1900), pag. 271–286(Nachlass); cfr. pureG. Landsberg,Beiträge zur Topologie geschlossener Kurven mit Knotenpunkte und zur Kroneckerschen Charakteristikentheorie [Math. Ann., 70 (1911), pag. 563–579].Google Scholar
  28. (26).
    A tale proposito vedansi le considerazioni d'indole generale svolte inA. Comessatti,Fondamenti per la geometria sopra le superficie razionali dal punto di vista reale [Math. Ann., 73 (1912), pag. 1–72, a pag. 43]; ed inA. Comessatti, (46), a pag. 281–283. E si ponga mente anche a qualche passo del presente lavoro (p. es. num. 24,Oss.)Google Scholar
  29. (27).
    Cfr. perciòA. Comessatti, (26), a pag. 8–9.Google Scholar
  30. (28).
    Cfr.A. Cayley, (44).Google Scholar
  31. (29).
    Sulle relazioni fra genericità algebrica e topologica dif nel caso del piano proicttivo cfr.L. Brusotti, (3),c), pag. 70, pag. 198;g), pag. 792.Google Scholar
  32. (30).
    C. Segre,Intorno ad un carattere delle superficie e delle varietà superiori algebriche [Atti Acc. delle Scienze di Torino, 31 (1896), pag. 485–501].Google Scholar
  33. (31).
    Trattasi p. es. delle\(\begin{gathered} Z = R_2 - 2h \hfill \\ R_2 = I + 4q + 2 \hfill \\ \end{gathered} \) per le quali (ed anche per il significato delle lettere) vedansi isp.:A. Comessatti,Sulla connessione delle superficie algebriche reali [Annali di Matematica (4), 5 (1927–28), pag. 299–317, a pag. 300] eS. Lefschetz,L'analysis situs et la géométrie algébrigue, Paris 1924, a pag. 40.Google Scholar
  34. (32).
    Alla (35) può giungersi anche più elementarmente cfr.L. Brusotti,Sull'ordine di connessione delle superficie algebriche reali [Rend. Ist. Lomb., (2), 78 (Scienze, 1944–45), pag. 360–366].Google Scholar
  35. (33).
    In generale, caratterizzato od astrattamente od in uno spazioS r un ente sotto l'aspetto della Topologia, si può chiedere se esista un ente algebrico reale la cui parte reale sia topologicamente identificabie coll'ente assegnato (brevemente se ne esista unmodello algebrico). A tale ordine di problemi si riferiscono esplicitamente i lavori seguenti:L. Brusotti,a) Sull'esistenza di modelli algebrici per ogni sistema di kcircuiti al finito Rend. R. Ist. Lomb., (2), 61 (1928), pag. 177–186];b) Le curve gobbe algebriche reali come modelli nella topologia proiettiva dell' allacciamento [Atti del Congresso internazionale dei Matematici (Bologna 1928), 4, pag. 139–145];c) Un teorema generale sull' esistenza di modelli algebrici per un sistema spaziale di kcircuiti [Rend. R. Ist. Lomb., (2), 61, (1928), pag. 767–783];d) Sul genere dei modelli algebrici di un sistema spaziale di kcircuiti [Annali R. Scuola Norm. Sup. di Pisa (Sc. Fis. e Mat.), (2). 1 (1932), pag. 61–77];e) Sui modelli algebrici di un sistema di kfalde [Atti del 1o Congresso dell'Unione matematica italiana (Firenze 1937), Bologna 1938. pag. 251–253);f) Le superficie algebriche reali come modelli in questioni di isotopia [Rend. R. Ist. Lomb., (2), 72 (Scienze, 1938–39), pag. 111–127];L. Torre,Trecce di Artin e modelli algebrici [Ibid, 74 (Scienze, 1940–41) pag. 501–514]. Si possono però intendere sotto tale aspetto anche gli studi sulleRiemanniane algebriche. Per questi cfr. specialmente:C. Segre,Le rappresentazioni reali delle forme complesse e gli enti iperalgebrici [Math. Ann., 40 (1892), pag. 413–467, specialmente a pag. 438, nota (**);L. Gasiorowski,Die Herstellung geschlossener singularitätenfreier algebraischer Flächen von beliebig hohem Zusammenhang [Journal für die r. u. a. Mathematik. 146 (1916), pag. 156–160]; J. v.Sz. Nagy,Über eine räumliche Darstellung Riemannscher Flächen von Geschlechte pmit p + 1Symmetrielinien [Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung, 26 (1917), pag. 109–113];F. Severi,Conferenze di Geometria algebrica, raccolte daB. Segre, (lit., Roma 1927–1930), specialmente pag. 75–84;A. Comessatti,Sulle riemanniane algebriche [Rend. Circolo matematico di Palermo, 53 (1929) pag. 283–309]. Nelle ultime due pubblicazioni citate è ricordato pure un corso universitario diF. Severi (Padova 1910–11).Google Scholar
  36. (34).
    Così nel piano proiettivo si può di Φ assegnare la cosiddetta «seconda forma ridotta» [cfr.L. Brusotti, (i),c), pag. 148–157] e richiedere fascif tali da dar luogo alla seconda forma ridotta assegnata [come in loc. cit., pag. 202–204].Google Scholar
  37. (35).
    Cfr.L. Brusotti, (i),c) pag. 198–202; una applicazione inL. Brusotti, (f),g), pag. 820; altre inL. Brusotti, (i),e), pag. 324. Si parte da un fascio offenuto aggregando al modello d'ordinen una componente fissa, d'ordinen′ —n, reale ma priva di punti reali, indi se ne trae un modello privo di componente fissa.Google Scholar
  38. (36).
    Si attribuisce cioè al termine «famiglia» un significato analogo a quello usato p. e. per le curve algebriche; cfr.F. Severi,Vorlesungen über algebraische Geometrie (Leipzig und Berlin, 1921), Anhang G. pag. 353–354.Google Scholar
  39. (39).
    A. Harnack Ueber die Vieltheiligkeit der ebenen algebraischen Curven [Math. Ann., 10 (1876), pag. 189–198].CrossRefMATHMathSciNetGoogle Scholar

Copyright information

© Nicola Zanichelli Editore 1946

Authors and Affiliations

  • Luigi Brusotti
    • 1
  1. 1.Pavia

Personalised recommendations