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Si costruisce una teoria topologica dei fasci di curve grafiche sopra una superficie, in vista delle applicazioni che essa può trovare nello studio dei fasci reali di curve algebriche sopra una superficie algebrica reale, di tali applicazioni facendo pur breve cenno
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L. Brusotti,Discriminanti e fasci nella topologia proiettiva del piano [Rend. R. Ist. Lomb., (2), 51 (1918). pag. 367–373];
Esistono fasci di curve piane d'ordine na punti-base e centri critici tutti reali [Ibid., pag. 612–618];
c) Sui fasci di curve grafiche (lit.) [Succ. Bruni, Pavia 1919, pag. 1–204];
Un teorema sui fasci reali di curve algebriche [Rend. R. Acc. Lincei, (5), 28 (1919), pag. 251–253];
Sulle curve piane algebriche reali prive di punti reali [Ibid., pag. 322–324];
Sopra un notevole fascio reale di cubiche piane [Rend. R. Ist. Lomb., (2), 53 (1920), pag. 188–192];
Sui centri critici di un fascio reale di curve piane algebriche [Atti R. Ist. Veneto, 80 (1920–21), P. 2a, pag. 791–820];
Sui fasci reali di cubiche piane dotati di un solo punto-base reale [Note e Memorie di Matematica (Catania), 1 (1921), pag. 242–244]. Sui fasci reali di cubiche piane sono pure da ricordarsi:J. E. Wright,Nodal cubics trough eight given points [Proc. London Math. Soc., (2), 6 (1908), pag. 52–57];H. Mohrmann,Ueber das Büschel von ebenen Kurven 3.Ordnung mit neun reellen Grundpunkte [Math. Aun., 74 (1913), pag. 319–340].
L. Brusotti,Fasci reali di curve algebriche sopra una quadrica reale [Rend. R. Ist. Lomb., (2), 72 (Scienze, 1938–39), pag. 3–9].
A. Cayley,On Contour and slope Lines [Philosophical Magazine, (4), 18 (1859), pag. 264–268, oppureCollected Mathematical Papers, 4 (Cambridge 1891), pag. 108–111];J. C. Maxwell,On Hilles and Dales [Philosophical Magazine, (4), 40 (1870), pag. 421–427, oppureScientific Papers, 2 (Cambridge 1890), pag. 233–240]. A questi possono raccostarsi i lavori diJ. C. Barré de Saint Venant, diJ. Boussinesq, diC. Jordan, e diC. Somigliana, Cfr., anche per citazioni,C. Somigliana,Sur une classification des maxima et minima des fonctions de plusieurs variables [Annales École Norm. Sup., (3), 31 (1914), pag. 87–97, oppureMemorie scelte (Torino 1936) pag. 395–406]; e, per ulteriori indicazioni,A. Comessatti,Geometria descrittiva ed applicazioni, inL. Berzolari, G. Vivanti eD. Gigli,Enciclopedia delle Matematiche elementari, 22 (Milano, 1938), pag. 307–375, a pag. 363.
H. Poincaré,Mémoire sur les courbes définies par une équation différentielle [Journal de Mathématiques, (3), 7 (1881), pag. 375–442, specialmente pag. 394–409, oppureOeuvres, 1 (Paris 1928), pag. 3–84, specialmente pag. 20–33];Sur les courbes définies par une équation différentielle [Journal de Mathématiques, (4). 1 (1885), pag. 167–244, specialmente pag. 203–208, oppureOeuvres, 1 (Paris 1928), pag. 90–158, specialmente pag. 121–125]. Sull'argomento cfr. pure le comunicazioni nei Comptes rendus de l'Académie des Sciences, 90 (1880), pag. 673–675; 98 (1884), pag. 287–289 [oppureOeuvres, 1, pag. 1–2; pag. 87–89].
W. Dyck,Beiträge zur Analysis situs, I Aufsatz, Ein - und zweidimensionale Mannigfaltigkeiten [Math. Ann., 32 (1888), pag. 457–512, specialmente pag. 501, form. (26)];II Aufsatz, Mannigfaltigkeiten von n Dimensionen [Math. Ann., 37 (1890), pag. 273–316].
L. Kronecker.Ueber Systeme von Functionen meherer Variabeln [Monatsberichte der K. Preussische Akademie der Wissenschaften, 1869, pag. 159–193, pag. 688–698, oppureWerke, 1 (Leipzig 1895), pag. 175–212, pag. 213–226;Ueber die verschiedenen Sturm'schen Reihen und ihre gegenseitigen Beziehungen [Monatsberichte (cit), 1873, pag. 117–154, oppureWerke, 1 (cit) pag. 303–348];Ueber Sturm'sche Functionen [Monatsberichte (cit), 1878, pag. 95–121, oppureWerke, 2 (Leipzig 1897), pag. 37–70];Ueber die Charateristik von Function-Systemen [Monatsberichte (cit), 1878, pag. 145–152, oppureWerke, 2 (cit), pag. 71–82].
Vedansi perciò:M. Morse,The calculus of variations in the large (New York 1934), specialmente pag. 142–191;H. Seifert undW. Threlfall,Variationsrechnung im Grossen (Leipzig und Berlin 1938), specialmente pag. 21–28; ed i lavori diA. B. Brown, H. Hope, F. John, T. H. Kiang, M. Morse, D. E. Richmond, W. M. Whyburn, ..., citati nella bibliografia annessa al trattato diM. Morse (pag. 359–366).
« Singramma » è qui introdotto come equivalente italiano diStreckencomplex oGraph degli autori tedeschi, digraph degli anglosassoni, diréseau dei francesi. Per le proprietà più elementari dei singrammi cfr.M. Dehn undP. Heegaard,Analysis situs, inEncyclopädie der Mathematischen Wissenschaften, 31, pag. 153–220, specialmente pag. 171–178. Per un'esposizione più larga cfr.D. König,Theorie der endlichen und unendlichen Graphen (Leipzig 1936). Qui tacitamente si suppone che vertici e spigoli del singramma siano in numero finito.
La denominazione « centro critico » introdotta nel caso algebrico daA. Cayley, è stata da me usata in senso topologico. Cfr.A. Cayley,On the theorie of involution [Trans. Cambridge Phil. Soc., 11, P. 1 (1886), pag. 21–38; oppureCollected Mathematical Papers, 5 (Cambridge 1892), pag. 295–312];L. Brusotti, (1),c), pag, 71.
PerZ=1, cioè per il caso del « piano proiettivo », cfr.L. Brusotti, (1),c), p. 90.
Cfr.D. König, (9), p. 21.
Nel casoZ=1 (piano proiettivo) le (14) (15) (16) riduconsi a formule già stabilite inL. Brusotti, (1),c), pag. 164–165.
Cfr.A. Comessatti.Sulla connessione delle superficie razionali reali [Annali di Matematica (3), 23 (1914), pag. 215–283, a pag. 238].
Cfr. p. es.A. Comessatti,Sui circuiti dispari delle curve algebriche reali tracciate sopra superficie razionali [Boll. Unione mat. italiana, (1), 12 (1933), pag. 289–293].
Per il caso del piano proiettivo cfr.L. Brusotti (1c), pag. 52, pag. 57; (1)e), pag. 322.
La locuzione « orientamento del singramma » e le analoghe sono qui usate in senso più lato di quello consueto, nel quale il singramma, potendo possedere vertici d'ordine dispari, risulta di regola [cfr.D. König, (9), pag. 29] « non orientabile », non suscettibile cioè di essere «continuirlich gerichtet ».
Cfr. (43) di num. 9 e form. (18) di num. 17.
Riferimenti inM. Dehn undP. Heegaard (9), pag. 173, ed inD. König (9), pag. 22.
Per il piano proiettivo e per rette cfr.L. Brusotti, (4),b) pag. 615. Ma la pro, prietà subito si estende al caso generale.
Trattasi del criterio seguito per circuiti dotati di nodi nella costruzione degli «schemi diGauss»; cfr.C. F. Gauss,Werke, 8 (Leipzig 1900), pag. 271–286(Nachlass); cfr. pureG. Landsberg,Beiträge zur Topologie geschlossener Kurven mit Knotenpunkte und zur Kroneckerschen Charakteristikentheorie [Math. Ann., 70 (1911), pag. 563–579].
A tale proposito vedansi le considerazioni d'indole generale svolte inA. Comessatti,Fondamenti per la geometria sopra le superficie razionali dal punto di vista reale [Math. Ann., 73 (1912), pag. 1–72, a pag. 43]; ed inA. Comessatti, (46), a pag. 281–283. E si ponga mente anche a qualche passo del presente lavoro (p. es. num. 24,Oss.)
Cfr. perciòA. Comessatti, (26), a pag. 8–9.
Cfr.A. Cayley, (44).
Sulle relazioni fra genericità algebrica e topologica dif nel caso del piano proicttivo cfr.L. Brusotti, (3),c), pag. 70, pag. 198;g), pag. 792.
C. Segre,Intorno ad un carattere delle superficie e delle varietà superiori algebriche [Atti Acc. delle Scienze di Torino, 31 (1896), pag. 485–501].
Trattasi p. es. delle\(\begin{gathered} Z = R_2 - 2h \hfill \\ R_2 = I + 4q + 2 \hfill \\ \end{gathered} \) per le quali (ed anche per il significato delle lettere) vedansi isp.:A. Comessatti,Sulla connessione delle superficie algebriche reali [Annali di Matematica (4), 5 (1927–28), pag. 299–317, a pag. 300] eS. Lefschetz,L'analysis situs et la géométrie algébrigue, Paris 1924, a pag. 40.
Alla (35) può giungersi anche più elementarmente cfr.L. Brusotti,Sull'ordine di connessione delle superficie algebriche reali [Rend. Ist. Lomb., (2), 78 (Scienze, 1944–45), pag. 360–366].
In generale, caratterizzato od astrattamente od in uno spazioS r un ente sotto l'aspetto della Topologia, si può chiedere se esista un ente algebrico reale la cui parte reale sia topologicamente identificabie coll'ente assegnato (brevemente se ne esista unmodello algebrico). A tale ordine di problemi si riferiscono esplicitamente i lavori seguenti:L. Brusotti,a) Sull'esistenza di modelli algebrici per ogni sistema di kcircuiti al finito Rend. R. Ist. Lomb., (2), 61 (1928), pag. 177–186];b) Le curve gobbe algebriche reali come modelli nella topologia proiettiva dell' allacciamento [Atti del Congresso internazionale dei Matematici (Bologna 1928), 4, pag. 139–145];c) Un teorema generale sull' esistenza di modelli algebrici per un sistema spaziale di kcircuiti [Rend. R. Ist. Lomb., (2), 61, (1928), pag. 767–783];d) Sul genere dei modelli algebrici di un sistema spaziale di kcircuiti [Annali R. Scuola Norm. Sup. di Pisa (Sc. Fis. e Mat.), (2). 1 (1932), pag. 61–77];e) Sui modelli algebrici di un sistema di kfalde [Atti del 1o Congresso dell'Unione matematica italiana (Firenze 1937), Bologna 1938. pag. 251–253);f) Le superficie algebriche reali come modelli in questioni di isotopia [Rend. R. Ist. Lomb., (2), 72 (Scienze, 1938–39), pag. 111–127];L. Torre,Trecce di Artin e modelli algebrici [Ibid, 74 (Scienze, 1940–41) pag. 501–514]. Si possono però intendere sotto tale aspetto anche gli studi sulleRiemanniane algebriche. Per questi cfr. specialmente:C. Segre,Le rappresentazioni reali delle forme complesse e gli enti iperalgebrici [Math. Ann., 40 (1892), pag. 413–467, specialmente a pag. 438, nota (**);L. Gasiorowski,Die Herstellung geschlossener singularitätenfreier algebraischer Flächen von beliebig hohem Zusammenhang [Journal für die r. u. a. Mathematik. 146 (1916), pag. 156–160]; J. v.Sz. Nagy,Über eine räumliche Darstellung Riemannscher Flächen von Geschlechte pmit p + 1Symmetrielinien [Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung, 26 (1917), pag. 109–113];F. Severi,Conferenze di Geometria algebrica, raccolte daB. Segre, (lit., Roma 1927–1930), specialmente pag. 75–84;A. Comessatti,Sulle riemanniane algebriche [Rend. Circolo matematico di Palermo, 53 (1929) pag. 283–309]. Nelle ultime due pubblicazioni citate è ricordato pure un corso universitario diF. Severi (Padova 1910–11).
Così nel piano proiettivo si può di Φ assegnare la cosiddetta «seconda forma ridotta» [cfr.L. Brusotti, (i),c), pag. 148–157] e richiedere fascif tali da dar luogo alla seconda forma ridotta assegnata [come in loc. cit., pag. 202–204].
Cfr.L. Brusotti, (i),c) pag. 198–202; una applicazione inL. Brusotti, (f),g), pag. 820; altre inL. Brusotti, (i),e), pag. 324. Si parte da un fascio offenuto aggregando al modello d'ordinen una componente fissa, d'ordinen′ —n, reale ma priva di punti reali, indi se ne trae un modello privo di componente fissa.
Si attribuisce cioè al termine «famiglia» un significato analogo a quello usato p. e. per le curve algebriche; cfr.F. Severi,Vorlesungen über algebraische Geometrie (Leipzig und Berlin, 1921), Anhang G. pag. 353–354.
A. Harnack Ueber die Vieltheiligkeit der ebenen algebraischen Curven [Math. Ann., 10 (1876), pag. 189–198].
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Brusotti, L. Premesse topologiche allo studio dei fasci rèali di curve algebriche sopra una superficie algebrica reale. Annali di Matematica 25, 67–109 (1946). https://doi.org/10.1007/BF02418079
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02418079