Sunto
Nel presente lavoro, riprendendo in esame gli integrali curvilinei dello spazio
già considerati in precedenti ricerche dell'A., si dimostrano alcuni teoremi di esistenza del minimo (assoluto) per gli integrali(I). A tali teoremi vengono premesse alcune considerazioni fondamentali riguardanti gli zeri della funzione F in relazione agli integrali\(\mathfrak{J}_C \). Alcuni dei risultati ottenuti vengono illustrati con esempi.
Article PDF
Avoid common mistakes on your manuscript.
Bibliographie
N. Berruti Onesti,A proposito di una classificazione di integrali curvilinei dello spazio nel Calcolo delle Variazioni, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, T. X, (1961), pp. 233–261.
Per le altre ipotesi sopra la funzioneF, cfr. il n. 1,a). Rileviamo che nel presente lavoro ci riferiamo alle ipotesi della Memoria citata in (1), non ponendoci, pertanto, nelle condizioni formulate da altri Autori: cfr., per esempio, il lavoro (citato da altri Autori, e del quale finora non abbiamo potuto prendere visione)L. H. Turner,The direct methods in the calculus of variations, Ph. D. dissertation, Purdue University, Lafayette, Indiana, 1957. D'altra parte alcune proprietà rilevate nel presente lavoro non sussistono nel caso in cui la funzioneF non ammette finite le derivate parziali del primo ordine rispetto ax′, y′, z′ (cfr. l'Osservazione del n. 3).
L. Tonelli,Fondamenti di Calcolo delle Variazioni, Due Volumi (N. Zanichelli, Bologna, 1921–23). Cfr. Vol. I, Cap. V, § 2, n. 81, pag 224.
Per quanto riguarda il modo in cui sono definite le funzioniE edF 1 relative agli integrali (I), cfr. rispettivamente la (1) e la (4) del n. 1,a) del presente lavoro.
Cfr. il n. 13 del lavoro citato in (1).
N. Berruti Onesti,Ancora sopra una classificazione di integrali curvilinei del Calcolo delle Variazioni, Rend. dell'Istituto Lombardo, Acc. di Scienze e Lettere, Vol. 99, (1965), pp. 457–485.
Cfr. il n. 2 del § 1 del presente lavoro.
Cfr. la (39) e la (60).
Tali condizioni vengono indicate nel n. 3,a) eb), e ricordate nel n. 4,a). A questo proposito cfr. anche la (19).
Cfr.L. Tonelli, Opera citata in (3), Vol. I, Cap. VI, n. 86,a), p. 240.
Cfr.L. Tonelli, Opera citata in (3), Vol. II, Cap. I, nn. 12–14, pp. 29–40.
Cfr., per es.,L. Tonelli,Sull'esistenza del minimo in problemi di Calcolo delle Variazioni, Annali della R. Scuola Norm. Sup. di Pisa, I, (1932), pp. 89–99; eSulle estremali complete, Annali della R. Scuola Norm. Sup. di Pisa, V, (1936), pp. 159–168. Cfr. anche Opera citata in (3), Vol. II, n. 26, p. 78.
Cfr., per es.,L. Tonelli, Opera citata in (3), Vol. II, Cap. I, nn. 15–22 e n. 24; eA. Del Chiaro,Sull'esistenza del minimo in problemi di Calcolo delle Variazioni, Annali della R. Scuola Norm. Sup. di Pisa, III, (1934), pp. 63–83.
Ci limitiamo a ricordare soltanto alcune definizioni, mentre per altre generalità rimandiamo al § 1 del lavoro citato in (1).
Per verificare che dalle (6) segnono le (7), basta tenere conto di quanto viene rilevato nel lavoro citato in (1) (cfr. § 2, n. 5, pag. 242); oppure, più direttamente, basta osservare che, sotto la sola ipotesi che\(\mathfrak{J}_C \) siaquasi-regolare positivo, essendo, per qualunque terna normalizzata (x′, y′, z′), e anche, poichè valgono le (5), si ha, tenendo conto delle (6), da cui, tenendo presente la (2), seguono le (7).
Cfr. § 3, n. 10,a) e § 2, n. 6.
Alla ipotesi che\(\mathfrak{J}_C \) siaseminormale può essere sostituita la condizione che, in corrispondenza a ognizero (x 0,y 0,z 0) dellaF, esista almeno una terna normalizzata (x 0',y 0',z 0') tale che per tutte le terne normalizzate (x′, y′, z′) distinte da (x 0′,y 0′,z 0′) sia soddisfatta la (21). (Cfr. la (19)).
Cfr.L. Tonelli, Opera citata in (3), Vol. II, Cap. I, § 3, n. 8,a), pag. 12.
Cfr.N. Berruti Onesti, lavoro citato in (1), § 4, n. 15; in particolare cfr. la nota (29) di pag. 261.
Cfr. luogo cit. in (40), n. 8.b), pag. 15.
Cfr. Opera citata in (3), Vol. II, Cap. I, § 4, n. 11,a), pag. 27.
Cfr.L. Tonelli, Opera citata in (3), Vol. II, Cap. I, n. 9.c), pag. 20.
Cfr.L. Tonelli, Opera citata in (3), Vol. II, Cap. I, n. 10, pp. 21–27.
Si può fare una osservazione analoga a quella contenuta nella nota (58).
Author information
Authors and Affiliations
Additional information
Lavoro eseguito nell'ambito dell'attività dei Gruppi di ricerca matematici del Consiglio Nazionale delle Ricerche (Gruppo n. 19).
Rights and permissions
About this article
Cite this article
Onesti, N.B. Sopra l'esistenza dell'estremo assoluto per una classe di integrali curvilinei dello spazio in forma parametrica. Annali di Matematica 74, 345–381 (1966). https://doi.org/10.1007/BF02416462
Issue Date:
DOI: https://doi.org/10.1007/BF02416462