Sunto
Si introduce il concetto di ampiezza di un arco di una curva semplice C quale oscillazione di una determinazione continua α(P1, P2) dell'anomalia di una secante orientata P1P2, essendo P1 e P2 punti di con P1 < P2. Si definisce poi l'angolosità di C in un suo punto P quale limite dell'ampiezza di un arco, al quale P risulta interno, per\(\left. {\begin{array}{*{20}c} {P_1 } \\ {P_2 } \\ \end{array} } \right\} \to P\) → P. Si definiscono punti lipschitziani di C quelli in cui l'angolosità di C è < π. Si esamina la relazione fra angolosità e paratingente. Infine si stabilisce l'esistenza di curve semplici, rettificabili e prive di punti lipschitziani.
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Literatur
Ci siamo risoluti a dedicare qualche pagina alla dimostrazione che segue perchè le trattazioni a cui ci saremmo potuti richiamare non ci sono sembrate soddisfacenti. Si confrontino ad esempio i teoremi generali dati daW. F. Osgood a pag. 36 e 156 della 1a ed. (1907) del suoLehrbuch der Funktionentheorie ed il quasi totale rimaneggiamento da essi subito nelle successive edizioni (si veda ad es. la 5a ed., 1928) senza alcun offettivo guadagno in chiarezza e precisione.
Vedasi ad esempioM. Picone,Lezioni di analisi infinitesimale, Vol. I, Parte Prima Catania, 1923, pag. 84.
U. Dini,Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabile reale, Pisa, 1878, pagg. 193–94.
Tale proposizione, espressa in termini di paratingente, si trova stabilita nellaIntroduction à la Géométrie infinitésimale directe diG. Bouligand, Paris, 1932, pagg. 79–80.
G. Bouligand, l. c., pag. 72.
G. Bouligand, l. c., pagg. 189–191.
La cosa segue immediatamente dal teorema dato dalLebesgue a pag. 51 delle sueLeçons sur l'intégration, Ia ed., Paris, 1904.
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Zin, G. Contributo alla geometria infinitesimale diretta delle curve piane. Annali di Matematica 34, 41–53 (1953). https://doi.org/10.1007/BF02415324
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02415324