Sunto
Si considerano una superficie algebrica F(x, y, z)=0 ed una sua curva D*, e si assegnano condizioni necessarie e sufficienti affinchè esista una funzione u=u(x, y, z) dei punti di F che sia diramata dalla D*.
Tali condizioni sono riportate al cosiddetto « piano multiplo associato alla funzione u », e risultano la naturale estensione delle note condizioni d'invarianza diEnriques.
I risultati raggiunti vengono estesi alle varietà multiple (non lineari). Si mostra infatti che l'esistenza di una Vr-1 multipla di Sr, diramata da una sua Dr-2, dipende da quella diuna sua sezione conun S3 generico.
Article PDF
Avoid common mistakes on your manuscript.
Literatur
F. Enriques,Sulla costruzione delle funzioni algebriche di due variabili possedenti una data curva di diramazione, « Annali di Matematica », serie IV, tomo I (1923).
O. Zariski,On the problem of existence of algebraic functions of two variables possessing a given branch curve, « American Journal of Math. », vol. 51 (1929). Dello stesso autore cfr. anche l'operaAlgebraic surfaces, pag. 168.
F. Severi,Le varietà multiple diramate, « Memorias de Matematica del Instituto Jorge Juan », Madrid, (1946).
Cfr.S. Lefschetz,Géométrie sur les surfaces et les variétés algébriques, pag. 58, « Mémorial des Sciences math. », XL, Gauthier Villars, Paris (1929).Severi, l. c. in (3), n. 8, osserv. 3a. Ricordiamo anche che in un caso particolare (quello ciclico) il nostro problema è stato ampiamente trattato daA. Comessatti,Sulle superficie multiple cicliche, « Rend. Sem. Matem. Padova », vol. 1, (1930).
Cfr.E. Marchionna,Sull'identià birazionale delle ipersuperficie multi le diramate da una medesima varietà, « Annali di Matematica », serie IV, vol.37 (1954), pp. 265–290.
O. Chisini,Courbes de diramation des plans multiples et tresses algébriques, Deuxième Colloque de Géométrie algébrique, Liège (1952).
B. Segre,Sulla caratterizzazione delle curve di diramazione dei piani multipli generali, « Mem. dell'Acc. d'Italia », (1930).
Ad es.O. Chisini, G. Zappa, G. Pompilj, C. F. Manara, G. Masotti Biggiogero, B. D'Orgeval. Per una bibliografia completa sull'argomento vedi la nota diO. Chisini citata in (6).
E. Marchionna,Una nuova caratterizzazione delle curve di diramazione dei piani multipli, « Rend. Accademia dei Lincei », serie VIII, vol. XI, fasc. 3–4 (1951);Varietà intersezioni complete e varietà di diramazione, « Rend. Ist. Lombardo », vol. LXXXV (1952);Costruzione diruna funzione algebrica di due o più variabili avente un'assegnata varietà di diramazione, « Rend. Ist. Lombardo », vol. LXXXVI (1953).
E. Marchionna,Curve e varietà di diramazione per superficie ed ipersuperficie multiple generali, « Rend. Ist. Lombardo », vol. LXXXV (1952).
È questo un noto teorema diPicard, precisato in seguito daSeveri. Cfr.Picard etSimart,Théorie des fonctions algébriques de deux variables, Paris, Gauthier Villars (1897), pag. 86;F. Severi, l. c. in (3), n. 2.
E per questo è necessario e sufficiente che:a) leS* generino un gruppo transitivo;b) il prodotto di tutte le sostituzioniS* — relative al cammino composto dai cappid j * e dai 4p cicliC h * eC h *−1 presi nell'ordine che essi presentano nell'intorno diO 1* — dia l'identità. Cfr.H. Hurwitz,Ueber Riemann'sche Flächen mit gegebenen | Verzweigungspunkten, « Mathematische Annalen (Leipzig) », XXXIX Band, (1891).Enriques-Chisini,Teoria geometrica delle equazioni e delle funzioni algebriche, Zanichelli (Bologna), vol. III, pag. 429.
Cfr. l. c. in (5), n. 2.
Cfr.Enriques, l. c. in (1), pagg. 196–197.
Tale nomenclatura riflette la natura topologica dei punti critici; cioè la rappresentazione di un punto critico (in cui coincidano due punti di ψ) mediante una potenza dello scambio (ik). Precisamente (ik)1: contatto; (ik)2: nodo; (ik)3: cuspide; (ik)4; tacnodo. Cfr.O. Chisini,I punti singolari di una curva algebrica come prodotto di sostituzioni, « Rend. Ist. Lombardo », vol. 74, fasc. II (1941).
Facciamo notare che, se si prescinde dalle differenze effettive accennate nel testo e da altre varianti di enunciazione, le nostre condizioni d'invarianza coincidono sostanzialmente con quelle che sono state assegnate prima (1920) daChisini relativamente ai casir=2,r=4, e poi (1923) daEnriques per i casir=1, 2, 3. Cfr.O. Chisini,Sugli incroci delle curve di diramazione per una funzione algebrica di due variabili, ed anche:Sui contatti delle curve di diramazione, ecc., « Rend. Accademia dei Lincei », vol. XXIX (1920).F. Enriques, l. c. in (1).
Cfr.Zariski, l. c. in (2) eSeveri, l. c. in (3). Per le nottzie riguardanti il gruppo diPoincaré cfr. ancheVeblen,Analysis situs, American Math. Society, Colloquium Pubblications, vol. V, 2a ed., (1931). Qui ricordiamo brevemente che cosa s'intenda per gruppo diPoincaré inerente adF−D*. Fissiamo un generico puntoO 1* inF−D* e consideriamo icicli lineari orientati diF−D* uscenti daO 1*. Due di questi ciclig 1 eg 2 si dicono equivalenti quando uno di essi è riducibile all'al. tro per continuità tenendo fissoO 1*; si scrive allora cheg 1=g 2. Le singoleclassi di cicli equivalenti sono glielementi del gruppoG diPoincaré. Il prodottog 1 g 2 di due ciclig 1 eg 2 è il ciclo che si ottiene percorrendo primag 1 e poig 2. In generaleg 1 g 2 ≠g 2 g 1, cioè il prodotto non è commutativo. È poi ovvio che cosa s'intenda perg −1. Inoitre i cicli che si ridncono con continuità adO 1*, tenendo fermoO 1*, verranno indicati col simbolo 1.
Author information
Authors and Affiliations
Rights and permissions
About this article
Cite this article
Marchionna, E. Sulle varietà multiple non lineari: estensioni del teorema d'Enriques relativo all'esistenza dei piani multipli. Annali di Matematica 38, 321–338 (1955). https://doi.org/10.1007/BF02413525
Issue Date:
DOI: https://doi.org/10.1007/BF02413525