Sunto
Si studiano alcune questioni generali relative al contatto d'ordine assegnato di due ipersuperficie algebriche F e G dello spazio Sr lungo una varietà & (r−2)-dimensionale, ottenendo fra l'altro una semplice condizione necessaria e sufficiente affinchè &, contata q volte, esaurisca l'intersezione di F e G. In secondo luogo si considera il caso di due superficie algebriche immerse in una V 3 algebrica ed aventi un contatto semplice lungo una curva priva di punti multipli; ed in particolare, qualora V 3 sia lo spazio ordinario, si prova che certe condizioni segnalate daB. Segre come condizioni necessarie affinchè una data superficie F possa essere tangente ad un'altra superficie lungo un' assegnata curva & (non singolare), sono anche sufficienti se l'ordine di F è inferiore a5. Infine si dà l'effettiva costruzione delle superficie circoscritte ad una superficie F d'ordine m=2, 3, 4, e si mostra come i metodi impiegati possano essere utilizzati anche quando si abbandoni l'ipotesi m<5.
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Literatur
B. Segre,Nuovi contributi alla geometria sulle varietà algebriche, « Mem. Acc. d'Italia », 5, (1934), pp. 479–576.
Relativamente al contatto di due superficie o di due ipersuperficie, cfr. anche:B. Segre,On limits of algebraic varieties, in particular of their intersections and tangential forms, « Proc. London Math. Soc. », (2), 47, (1942), pp. 351–403, eJ. G. Semple,Contact conditions for surfaces, « Proc. R. Irish Acad. », vol. XLIII, Section A, n. 5, (1936), pp. 49–71.
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Cfr.F. Severi,Sul massimo numero di nodi di una superficie di dato ordine dello spazio ordinario e di una forma di un iperspazio, « Annali di Matematica », 4, (25), (1946), pp. 1–41;B. Segre,Sul massimo numero di nodi delle superficie di dato ordine, « Boll. U.M.I. », 3, 2, (1947), pp. 204–212;Sul massimo numero di nodi delle superficie algebriche, « Atti Acc. Ligure di Scienze e Lettere », vol. X, fasc. 1°, Genova (1952), p. 15;E. G. Togliatti,Sulle superficie algebriche col massimo numero di punti doppi (Conferenza tenuta a Torino il 16 marzo 1950), « Rendiconti Sem. Mat. di Torino », t. IX, (1950), pp. 47–59.
Indicherò con lo stesso simboloA h una forma algebrica di gradoh nelle variabilix 0,x 1, ...,x r e l'ipersuperficie diS r di equazioneA h =0.
F. Severi,Una proprietà delle forme algebriche prive di punti multipli, « Rendic. Acc. Naz. dei Lincei », (5), (1906), pp. 691–696.
M. Noether,Zur Grundlegung der Theorie der algebraischen Raumcurven, Berliner Abhandlungen, (1882);G. Fano,Sulle varietà algebriche che sono intersezioni complete di più forme, « Atti dell' Acc. di Torino », (1808–1809);S. Lefschetz,On certain numerical invariants of algebraic varieties with application to Abelian varieties, « Trans Am. Math. Soc. », (1921); per una dimostrazione algebrico-geometrica di tale teorema, cfr.A. Franchetta,Sulle curve appartenenti ad una superficie generale d'ordine m≥4dell'S 3, « Rendic. Acc. Naz. dei Lincei », (8), 3, (1947), pp. 71–78.
F. Severi,Il concetto generale di molteplicità delle soluzioni pei sistemi di equazioni algebriche e la teoria dell'eliminazione, « Annali di Matematica », serie IV, vol. 26, (1947), pp. 221–270.
G. Humbert,Théorie générale des surfaces hyperelliptiques, « Journ. Math. pures et appliquées », 4, (1883), pp. 29–170, e pp. 361–475.
Gruppo diRosenhain è il gruppo di quattro piani singolari formanti un tetraedro avente per vertici quattro punti singolari; cfr.Rosenhain, Mémoires couronnéesSavants étrangeres, t. XI; ed ancheG. Humbert, loc. cit. in (15).
F. Klein, inConfigurationen bei der Kummers' Flachen, « Math. Ann. », t. XXVII, ha riconosciuto con considerazioni fondate sullaLiniengeometrie l'esistenza di superficie diKummer G 4 circoscritte ad una dataF 4 diKummer, approfondendo lo studio della configurazione dei sedici punti e dei sedici piani singolari delleG 4.
Cfr.G. Humbert, loc. cit. in (15), p. 111.
Non è ancora noto se esista unaF 5 dello spazio ordinario dotata di 32 nodiB. Segre, nella Nota:Sul massimo numero di nodi delle superficie algebriche, già citata in (5), ha dimostrato tuttavia che unaF 5 soddisfacente a certe ipotesi di generalità non può possedere più di 31 punti doppi isolati, ed è noto che tale limite è raggiunto dallaF 5 diTogliatti (Cfr.E. G. Togliatti,Una notevole superficie del 5° ordine con soli punti doppi isolati, « Festschr. R. Fueter », Zürich, (1940), pp. 127–132).
B. Segre, nella Nota citata in (5) ed in (21), ha provato che unaF 6 dello spazio ordinario soddisfacente a certe ipotesi di generalità, non può possedere più di 63 punti doppi, ed ha costruito unaF 6 per la quale tale massimo è raggiunto; ma non è ancora completamente accertato che non esistanoF 6 dotate di 64 nodi. È stata invece provata la non esistenza diF 6 con 67 nodi: cfr.A. B. Basset,The maximum number of double points on a surface, « Nature », 73, (1906), p. 246.
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Gallarati, D. Sul contatto di superficie algebriche lungo curve. Annali di Matematica 38, 225–251 (1955). https://doi.org/10.1007/BF02413519
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02413519