Sunto
Si estende il campo di applicabilità della classica condizione sufficiente diE. Fabry per il punto critico sulla circonferenza di convergenza: questa condizione richiede l'ispezione della successione dei coefficienti su una successione di tratti e il computo di certe variazioni di segno. Per ottenere la nostra estensione si introduce il concetto di « variazione di segno condizionata » che consente tanto un computo più favorevole quanto la possibilità di ridurre l'ispezione alla parte centrale dei tratti. - 1. Posizione del problema. - 2. Variazioni di segno condizionate. - 3. Condizione unilaterale con quante si vogliono variazioni di segno (Teor. I). - 4. Una funzione ausiliaria. -5. Condizione sufficiente espressa con le variazioni di segno condizionate (Teor. II). -6. Il tratto ridotto (Teor. III, IV e V). - 7. Criterî sufficienti per le serie di potenze non prolungabili (Teor. VI). - 8. Alcuni lemmi noti. - 9. Un nuovo lemma. - 10. Maggiorazione diIIp. - 11. Dimostrazione del lemma principale. - 12. Dimostrazione del Teor. II. - 13. Dimostrazione del Teor. V.
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Literatur
E. Fabry, « Annales École normale supér. », (3),13, 367–399.E. Landau,Darstellung und Begründung einiger neuerer Ergebnisse der Funktionentheorie. 2. Aufl., Berlin 1929, pp. 14–16, 76–86. Noi seguiremo l'esposizione diE. Landau; in questa opera si trovano anche indicazioni bibliografiche.
G. Ricci,Emisimmetria di tratti e teorema di Vivanti-Pringsheim-Hadamard-Fabry relativo ai punti critici, « Bollettino U. M. I. », III,9, pp 126–135, (1954); qui figura soltanto la costante ϑ, ma il teorema è equivalente a quello enunciato sopra.
VediE. Landau, loc cit. in (1), pp. 78–83.
Queste condizioni vengono indicate (III*), (IV*), ecc. perchè corollarî dei Teor. III, IV, ecc.
VediF. Lösch, « Math. Zeitschrift »,32 (1930), pp. 415–421.
VediE. Landau, loc. cit. in (1), pp. 77–80 ove si trovano i lemmi 1, 2, 3.
La dimostrazione di questo lemma è contenuta sostanzialmente inE. Landau, loc. cit. (1), p. 82: qui la riportiamo per comodità del lettore.
VediG. Ricci, loc. cit. in (3).
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Ricci, G. Variazioni di segno condizionate e teorema di Fabry. Annali di Matematica 38, 1–31 (1955). https://doi.org/10.1007/BF02413512
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02413512