Sunto
Si danno le condizioni necessarie per la semicontinuità dei funzionali
dovey=y(x), y 1=y1(x), y2=y2(z) sono le equazioni di curve assolutamente continue perx in (a, b) ez in (c, d).
La proprietà che più distingue tali funzionali da quelli finora considerati nel Calcolo delle Variazioni è chese I(y)e I(y1, y2)sono semicontinui su una data curva possono non esserlo su archi di questa. Pertanto, oltre alle condizioni necessarie per la semicontinuità in tutto il campo e sopra una curvaC assegnata, se ne danno anche altre per la semicontinuità su ogni arco diC.
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Bibliografia
G. Fubini,Alcuni nuovi problemi di Calcolo delle Variazioni con applicazioni alla teoria delle equazioni integro-differenziali, « Annali di Matematica pura ed applicata », S. III, T. XX, 1913, pagg. 217–244.
V. ad es.L. Tonelli,Il Calcolo delle Variazioni secondo la Scuola Italiana ed i suoi più recenti risultati, « Atti del Io Congresso dell' Unione Matematica Italiana », 1937, pagg. 26–39.
T. Tonelli,Su alcuni funzionali, « Annali di Matematica pura ed applicata », S. IV, T. XVIII, 1939. Alcuni dei risultati di tale Memoria sono riportati nel recente trattato diG. Sansone:Equazioni differenziali nel campo reale, (Zanichelli, Bologna), 1941, Vol. I, pagg. 277–286.
Fin dal 1940. Il ritardo del presente lavoro è causato dal mio richiamo alle armi. Cfr.L. Tonelli,L'analisi funzionale nel Calcolo delle Variazioni, « Annali R. Scuola Normale Superiore di Pisa », S. II, Vol. IX, 1940, pagg. 289–302. Nel Cap. « Problemi attuali e nuovi orizzonti del Calcolo delle Variazioni »,L. Tonelli addita tale questione all'attenzione dei matematici.
L. Tonelli,Fondamenti di Calcolo delle variazioni, Vol. I, Cap. X, pag. 369.
S. Cinquini, loc. cit. in (13).
L. Tonelli,Fondamenti…, Vol. I, Cap. V, pag. 213 e loc. cit. in (22).
L. Tonelli,Fondamenti…, Vol. I, Cap. IX, § 1, pag. 349.
L. Tonelli,Fondamenti…, Vol. I, Cap. IX, pag 347.
L. Tonelli,Fondamenti…, Vol. I, Cap. X, § 1, pag. 369.
L. Tonelli,Sulla quadratura delle superficie. « Rend. Acc. Lincei », Vol. III, 1926.
S. Cinquini,Condizioni necessarie per la semicontinuità degli integrali doppi del Calcolo delle Variazioni, « Annali di Matematica pura ed applicata », S. IV, T. X, 1932, pagg. 234–242.
L. Tonelli,Fondamenti…, Vol. I, Cap. XI, pag. 397.
L. Tonelli,Fondamenti…, Vol. I, Cap. IX, n. 135, pag. 350.
L. Tonelli,Fondamenti…, Vol. I, Cap. VI, 2, n. 88, nota a piè di pagina 245.
L. Tonelli,Fondamenti…, I, Cap. X, 2, pag. 370.
L. Tonelli,Fondamenti…, Vol. I, Cap. VI, n. 88b), pag. 245.
L. Tonelli,Fondamenti…, Vol. I, Cap. X, 2, pag. 370.
L. Tonelli, loc. cit in (12).
L. Tonelli,Sur la semicontinuité des intégrales doubles du Calcul des Variations, « Acta Matematica », T. 53, pag. 333. Il lemma è stato dato daL. Tonelli, in una forma più generale. Per i nostri scopi è però sufficiente questo caso particolare.
La dimostrazione che daremo è l'estensione adI(y) di quella data daL. Tonelli perT(y),Fondamenti…, Vol. I, Cap. VI, pag. 231.
Per questa dimostrazione cfr.L. Tonelli,Fondamenti…, Vol. I, Cap. V. pag. 214, e loc. cit. in (22).
L. Tonelli,Sulla rappresentazione analitica delle funzioni di più variabili reali, « Rend. Circ. Mat. Palermo », T. XXIX (1910), pagg. 1–36.
L. Tonelli,Fondamenti…, Vol. I, Cap. VI, n. 89a), pag. 246.
L. Tonelli, loc. cit. in (3), § 3.
L. Tonelli,Fondamenti…, Vol. I, Cap. XI, pag. 397. Occorre inoltre supporre la continuità diF y′x o altre condizioni, ad es. cheT(y) sia seminormale; cfr.L. Tonelli,Su gli integrali del Calcolo delle Variazioni in forma ordinaria, « Annali R. Scuola Normale Superiore di Pisa », S. II, Vol. III, 1934, pagg. 404–410.
Loc. cit. in (3), § 3.
Loc. cit. in (3), § 1, n. 3.
S. Faedo,Un nuovo tipo di funzionali continui, « Rend. di Matematica e delle sue Applicazioni », Roma, 1943.
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Faedo, S. Condizioni necessarie per la semicontinuità di un nuovo tipo di funzionali. Annali di Matematica 23, 69–121 (1944). https://doi.org/10.1007/BF02412826
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02412826