Sunto
Si dimostra come dal Calcolo delle Variazioni per gli integrali su un intervallo infinito, recentemente sviluppato dall' A., si possano dedurre classiche proposizioni asintotiche per le soluzioni delle equazioni differenziali e stabilirne delle nuove.
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Bibliografia
S. Faedo,Contributo alla sistemazione teorica del metodo variazionale per l'analisi dei problemi di propagazione, « Annali R. Scuola Normale di Pisa », serie II, vol. X, 1941, pagg. 139–152.
M. Picone, Nota al lavoro cit. in (1), ibidem, pagg. 153–155.
S. Faedo,L'unicità delle successive approssimazioni nel metodo variazionale, « Memcrie della R. Accad. d'Italia », vol. XIII, (5), pagg. 679–707, 1942;Proprietà asintotiche delle estremanti degli integrali a campo di integrazione illimitato, «Annali R. Scuola Normale Superiore di Pisa », serie II, vol. XI, 1942, pagg. 119–131;Sull'estremo assoluto degli integrali estesi a un campo illimitato, « Annali R. Scuola Normale Superiore di Pisa », vol. XI, 1942, pagg. 223–234. I risultati di questi lavori e di quello citato in (4), con l'aggiunta di ulteriori contributi, sono esposti nella Memoria:Il Calcolo delle Variazioni per gli integrali su un intervallo infinito, inserita nelle « Commentationes » dell' Accademia Pontificia, 1943. Un riassunto, dallo stesso titolo, trovasi nei « Rend. della R. Accad. d'Italia », 1943. Tale Memoria dell' Accademia Pontificia verrà in seguito indicata con « Memoria A. P. ».
S. Faedo, « Memoria A. P. », Cap. II, n. 5.
Nota aggiunta durante la correzione delle bozze. In un lavoro successivo alla « Memoria A. P. »,Un nuovo teorema di esistenza dell'estremo assoluto per gli integrali su un intervallo infinito, « Boll. U. M. I. », 1943, è data una larga estensione del teorema II.
S. Faedo, « Memoria A. P. », Cap. VI, n. 2.
S. Faedo, « Memoria A. P. », Cap. III, § 2.
Si vedaG. Sansone,Studi asintotici sulle equazioni differenziali lineari nel campo reale, « Atti II Congresso dell'Unione Matematica Italiana », ed. Cremonese, Roma, 1942, pag. 51;Equazioni differenziali nel campo reale, Zanichelli (Bologna), 1941, Parte II, Cap. VII, n. 5, pagg. 41–43:D. Caligo,Comportamento asintotico degli integrali dell'equazione y″(x)+A(x)y(x)=0,nell'ipotesi lim\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } A\left( x \right) = 0\), « Bollettino dell'Unione Matematica Italiana », serie II, anno II, n. 4, 1941, pagg. 276–285. IlCaligo dimostra che sussiste la (4) se laϕ(x) è continua e verifica la limitazione\(\left| \varphi \right| \leqslant \frac{l}{{x^{2 + } \rho }}\) (l, ρ costanti positive). Al n. 2 di questo paragrafo vedremo come si può togliere l'ipotesi che siaϕ≥0.
M. Picone, loc. cit. in (2). pagg. 153–155.
A. Kneser,Untersuchungen über die reellen Nullstellen der Integrale Linearer Differentialgleichungen, « Math. Ann. », Bd. 42, 1893, pagg. 409–435.
Cfr.M. Picone, loc. cit. in (2). pagg. 153–155.
O. Perron,Ueber nichthomogene lineare Differentialgleichungen, « Math. Zeitschr. », 6, 1920, pagg. 161–166;Ueber einen Grenzrvertsatz, id., 17, 1923, pagg. 149–152.
L. Cesari,Proprietà asintotiche delle equazioni differenziali lineari ordinarie, « Rend. Sem. Mat. R. Università di Roma », serie IV, vol. III, pagg. 171–193.
O. Haupt,Ueber das asymptotische Verhalten der Lösungen gervisser linearer gervöhnlicher Differentialgleichungen, « Math. Zeitschrift », 48 B, 2 H, 1942, pagg. 289–292.
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Faedo, S. Ricerche sul comportamento asintotico delle soluzioni delle equazioni e dei sistemi di equazioni differenziali. Annali di Matematica 23, 25–50 (1944). https://doi.org/10.1007/BF02412824
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02412824